Ermittlung des Funktionsterms einer Polynomfunktion 4. Grades

Um den Funktionsterm einer Polynomfunktion 4. Grades zu ermitteln – benötigen wir bestimmte Informationen über die Funktion. Im vorliegenden Fall wollen wir den Funktionsterm einer Funktion f ermitteln, die welche x-Achse im Ursprung berührt, symmetrisch zur y-Achse ist, einen Streckungsfaktor von -1 hat und eine Nullstelle bei x=5 hat.

Zunächst können wir den Funktionsterm allgemein als f=ax⁴+bx³+cx²+dx+e schreiben. Da der Streckungsfaktor -1 ist, wird der Funktionsterm zu f=-1x⁴+bx³+cx²+dx+e. Aufgrund der Symmetrie zur y-Achse ist der Term schon auf die ungeraden Potenzen reduziert, sodass wir f=-1x⁴+bx²+c erhalten.

Da die Funktion die x-Achse im Ursprung berührt, haben wir eine doppelte Nullstelle bei x=0. Durch die Nullstelle bei x=5 wissen wir, dass (x-5) ein Linearfaktor der Funktion ist. Da die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist ist ebenfalls (x+5) ein Linearfaktor. Somit können wir die Funktion als Produkt von Linearfaktoren schreiben: f(x)=-1(x-5)(x+5)(x-r)(x+s), obwohl dabei r und s die restlichen Nullstellen darstellen.

Um den Funktionsterm weiter zu vereinfachen setzen wir die restlichen Nullstellen r und s ein. Da an x=0 eine doppelte Nullstelle vorliegt ist (x-0)²=x² ein Faktor. Da wir einen Streckungsfaktor von -1 haben, können wir den Funktionsterm schließlich zu f=-1x⁴+25x² vereinfachen.

Somit lautet der Funktionsterm der gesuchten Polynomfunktion f(x)=-x⁴+25x². Dieser Term erfüllt alle gegebenen Bedingungen und beschreibt die gesuchte Funktion.

Insgesamt lässt sich der Funktionsterm also durch die gegebenen Informationen über Nullstellen » Symmetrie und Streckungsfaktor ermitteln « indem man schrittweise die passenden Faktoren identifiziert und in den Funktionsterm einsetzt.