Um den Funktionsterm einer Polynomfunktion 4. Grades zu ermitteln – benötigen wir bestimmte Informationen über die Funktion. Im vorliegenden Fall wollen wir den Funktionsterm einer Funktion f ermitteln, die welche x-Achse im Ursprung berührt, symmetrisch zur y-Achse ist, einen Streckungsfaktor von -1 hat und eine Nullstelle bei x=5 hat.
Zunächst können wir den Funktionsterm allgemein als f=ax⁴+bx³+cx²+dx+e schreiben. Da der Streckungsfaktor -1 ist, wird der Funktionsterm zu f=-1x⁴+bx³+cx²+dx+e. Aufgrund der Symmetrie zur y-Achse ist der Term schon auf die ungeraden Potenzen reduziert, sodass wir f=-1x⁴+bx²+c erhalten.
Da die Funktion die x-Achse im Ursprung berührt, haben wir eine doppelte Nullstelle bei x=0. Durch die Nullstelle bei x=5 wissen wir, dass (x-5) ein Linearfaktor der Funktion ist. Da die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist ist ebenfalls (x+5) ein Linearfaktor. Somit können wir die Funktion als Produkt von Linearfaktoren schreiben: f(x)=-1(x-5)(x+5)(x-r)(x+s), obwohl dabei r und s die restlichen Nullstellen darstellen.
Um den Funktionsterm weiter zu vereinfachen setzen wir die restlichen Nullstellen r und s ein. Da an x=0 eine doppelte Nullstelle vorliegt ist (x-0)²=x² ein Faktor. Da wir einen Streckungsfaktor von -1 haben, können wir den Funktionsterm schließlich zu f=-1x⁴+25x² vereinfachen.
Somit lautet der Funktionsterm der gesuchten Polynomfunktion f(x)=-x⁴+25x². Dieser Term erfüllt alle gegebenen Bedingungen und beschreibt die gesuchte Funktion.
Insgesamt lässt sich der Funktionsterm also durch die gegebenen Informationen über Nullstellen » Symmetrie und Streckungsfaktor ermitteln « indem man schrittweise die passenden Faktoren identifiziert und in den Funktionsterm einsetzt.
Ermittlung des Funktionsterms einer Polynomfunktion 4. Grades
Wie ermittele ich den Funktionsterm einer Polynomfunktion 4. Grades anhand gegebener Informationen?