Gleichungssysteme sind nicht nur mathematische Spielereien. Sie besitzen eine tiefere Bedeutung für das Verständnis von Wechselwirkungen zwischen Variablen. Um zwei unbekannte ´ gesuchte Zahlen zu finden ` beginnen wir mit Variablen. Diese Variablen repräsentieren die Zahlen. Im vorliegenden Beispiel lassen sich die Informationen in zwei relevante Gleichungen übersetzen.
Die beiden gesuchten Zahlen stellen ein faszinierendes Rätsel dar. Die erste Zahl ist das Doppelte einer rationalen Zahl. Aber sie ist ebenfalls um 20 größer als die Hälfte einer zweiten Zahl. Ein zusätzlicher Aspekt – die erste Zahl ist um 11 kleiner als die zweite Zahl. Diese Voraussetzungen führen uns direkt zu mathematischen Formulierungen.
Bezeichnen wir die erste Zahl als x und die zweite als y. So ergibt sich folgende Gleichungsform:
1. 2x = (y/2) + 20
2. x = y - 11
Ein cleverer Schritt in der Lösung besteht darin die zweite Gleichung in die erste zu integrieren. Dazu nehmen wir die Gleichung – die nicht nur von x abhängt. Diese neue Gleichung bildet die Grundlage zur Berechnung. Das Umformen erfolgt wie folgt:
Wir nehmen die erste Gleichung und setzen die Ausdrucksformen der Variablen ein. 2x = (y - 11)/2 + 20. Mit etwas simplen algebraischen Manipulationen gelangt man zu einer Gleichung nur in Bezug auf y. Durch Multiplizieren wird das Ganze übersichtlicher:
4x = y - 11 + 40 was vereinfacht zu 4x = y + 29 führt. Jetzt können wir y isolieren – es ergibt sich die Gleichung y = 4x - 29.
Mit diesem neuen Ausdruck kehren wir zurück zur zweiten Gleichung und setzen nun y ein. Dies gibt uns die Möglichkeit, für x einen Wert zu ermitteln: x = (4x - 29) - 11. Das führt zu x = 4x - 40. Nach wenigen Schritten ist es klar: 3x = 40 und damit x = 40/3.
Wir sind fast am Ziel. Um den Wert für y zu bestimmen, setzen wir x in die Gleichung für y ein: y = 4*(40/3) - 29. Hierbei geht es weiter. Es reduziert sich zu y = 160/3 - 29 und schließlich erhalten wir die Endform: y = 73/3.
Die finale Lösung existiert nun. Die Werte für x und y sind x = 40/3 und y = 73/3. Um es einfacher zu fassen, können wir sagen, dass x etwa 13⸴33 und y etwa 24⸴33 entspricht. Über diese mathematischen Spielereien hinaus zeigt sich, ebenso wie wichtig Gleichungen sind. Sie bilden das Fundament für unzählige Anwendungen in der Naturwissenschaft, Wirtschaft und Technik. In der heutigen Zeit spielt Datenanalyse eine bedeutende Rolle.
Zusammengefasst sind die gesuchten Zahlen beeindruckend x = 13⸴33 und y = 24⸴33. Mit Gleichungssystemen lassen sich nicht nur Zahlen finden — sie eröffnen auch Türen zu komplexeren mathematischen Strukturen.
Berechnung von zwei Zahlen mit Hilfe von Gleichungssystemen
Wie können zwei unbekannte Zahlen durch ein Gleichungssystem bestimmt werden?