Die Kraft als zeitliche Ableitung des Impulses: Funktion und Berechnung

Die Berechnung der Kraft als zeitliche Ableitung des Impulses erfolgt durch folgende Schritte:

1. Impulsberechnung:
Zu Beginn muss der Impuls p berechnet werden. Der Impuls ist definiert als das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit v: p = m * v.

2. Ableitung des Impulses nach der Zeit:
Der Impuls p' ist die Ableitung des Impulses p nach der Zeit t: p' = dp / dt․

3. Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:
Um die Ableitung des Impulses nach der Zeit zu berechnen wird die Ableitung der Geschwindigkeit v nach der Zeit t benötigt. Diese Ableitung wird als Beschleunigung a bezeichnet: dv/dt = a.

4. Einsetzen der Ableitung der Geschwindigkeit:
Die Ableitung der Geschwindigkeit dv/dt, also die Beschleunigung a, wird in die Ableitung des Impulses p' eingesetzt: p' = m * a.

5. Anwendung des Grundgesetzes der Mechanik:
Nach dem Grundgesetz der Mechanik gilt die Formel F = m * a, obwohl dabei F die Kraft, m die Masse und a die Beschleunigung ist. Diese Formel wird nun in die Ableitung des Impulses p' eingesetzt: p' = F.

Somit ergibt sich die Kraft F als zeitliche Ableitung des Impulses p.

Zusätzlich zu diesen Schritten lässt sich noch anmerken, dass die Ableitung nach der Zeit die Veränderungsrate einer Größe in Bezug auf die Zeit darstellt. In diesem Fall gibt die zeitliche Ableitung des Impulses den Wert der Kraft an ´ die auf einen Körper wirkt ` um seine Geschwindigkeit zu ändern.

Ein Beispiel zur Veranschaulichung:

Angenommen, ein Körper mit der Masse m = 2 kg wird von einer dauerhaften Kraft F = 5 N beschleunigt. Die Anfangsgeschwindigkeit v0 beträgt 0 m/s. Gesucht ist die Geschwindigkeit v zur Zeit t = 3 s.

Zunächst wird der Impuls berechnet:
p = m v = 2 kg v

Da der Körper von einer konstanten Kraft F = 5 N beschleunigt wird, gilt die Formel F = m * a. Die Masse m ist gegeben und die Beschleunigung a kann durch Umstellen der Formel berechnet werden: a = F / m = 5 N / 2 kg = 2⸴5 m/s^2.

Die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ergibt die Beschleunigung:
dv/dt = a = 2⸴5 m/s^2.

Nun kann die Ableitung des Impulses p' berechnet werden:
p' = m a = 2 kg 2⸴5 m/s^2 = 5 kg*m/s.

Somit beträgt der Impuls p' zur Zeit t = 3 s 5 kg*m/s was gleichzeitig der Wert der Kraft F ist.

Insgesamt lässt sich sagen: Die Kraft als zeitliche Ableitung des Impulses eine wichtige Größe in der Physik ist um die Auswirkungen einer Kraftwirkung auf einen Körper zu beschreiben. Durch die Berechnung der Ableitung können Kräfte quantifiziert und analysiert werden.