Potenzen und Wurzeln sind mathematische Konzepte die eng miteinander verbunden sind. Potenzen werden verwendet ´ um eine Zahl mit sich selbst zu multiplizieren ` während Wurzeln das Gegenteil sind und die Umkehrung von Potenzen darstellen. Um Potenzen zu vereinfachen und sie als Wurzeln auszudrücken, können Potenzgesetze angewendet werden.
Bei der gegebenen Aufgabe "Schreibe als Potenz, vereinfache und notiere wieder als Wurzel" geht es darum, eine gegebene Potenz zu vereinfachen und sie dann als Wurzel auszudrücken.
1) 4. Wurzel aus 3^2:
Um die Potenz zu vereinfachen, wenden wir das Potenzgesetz an: a^m/n = (n-te Wurzel aus a)^m. In diesem Fall ist a=3 und m=2. Das Ergebnis lautet also (4. Wurzel aus 3)^2.
Die 4. Wurzel aus 3^2 kann weiter vereinfacht werden, indem wir die Potenz als hoch 1/4 schreiben. Die Potenzregel besagt, dass x^(m/n) = (n-te Wurzel aus x)^m. Daher ergibt sich (4. Wurzel aus 3)^2 = 3^(2/4) = 3^(1/2).
Wenn wir diesen Ausdruck als Wurzel schreiben wollen, verwenden wir die Tatsache, dass die Quadratwurzel als hoch 1/2 geschrieben werden kann. Also ist 3^(1/2) genauso viel mit der Quadratwurzel aus 3.
2) 12. Wurzel aus 5^4:
Nach dem gleichen Prinzip wenden wir das Potenzgesetz an um die Potenz zu vereinfachen: (12. Wurzel aus 5)^4.
Wir schreiben die 12. Wurzel als hoch 1/12 und es ergibt sich (5^(1/12))^4.
Die Potenz kann weiter vereinfacht werden, indem wir die Potenzgesetze anwenden: (5^(1/12))^4 = 5^(1/3). Wenn wir dies in Wurzel ausdrücken möchten, verwenden wir die Tatsache: Die dritte Wurzel als hoch 1/3 geschrieben werden kann. Daher ist 5^(1/3) gleich der dritten Wurzel aus 5.
Zusammenfassend heißt das also:
1) 4. Wurzel aus 3^2 = Wurzel aus 3
2) 12. Wurzel aus 5^4 = dritte Wurzel aus 5
Es ist wichtig zu beachten: Dass Potenzgesetze und Umwandlung von Potenzen in Wurzeln grundlegende mathematische Konzepte sind die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet werden. Durch die Anwendung dieser Regeln können komplexe Ausdrücke vereinfacht und leichter interpretiert werden.
Potenzen und Wurzeln erklärt: Vereinfachung und Umwandlung als Potenz und Wurzel
Wie vereinfacht man Potenzen, schreibt sie als Wurzel und wendet Potenzgesetze an?