Das Produkt der Steigungen von zwei Geraden gibt die geometrische Beziehung zwischen den beiden Geraden wieder. Wenn zwei Geraden senkrecht zueinander stehen, heißt das, dass sie einen Winkel von 90° bilden. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies: Das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt.
Um diese Beziehung besser zu verstehen betrachten wir zunächst die Steigung einer Geraden. Die Steigung gibt an ´ ebenso wie stark die Gerade ansteigt ` wenn wir eine Einheit ➡️ gehen. Es ist das Verhältnis zwischen der vertikalen Änderung (der Steigung) und der horizontalen Änderung (der Länge der Strecke). Die Steigung m kann mit Hilfe des Tangens des Winkels θ berechnet werden: m = tan(θ).
Nun betrachten wir zwei Geraden die senkrecht zueinander stehen. Die Steigung der ersten Geraden sei m1 und die Steigung der zweiten Geraden sei m2. Da die beiden Geraden senkrecht zueinander stehen bilden sie einen rechten Winkel. Das bedeutet, dass der Winkel θ zwischen den beiden Geraden 90° beträgt.
Wenn wir nun die Steigung m1 der ersten Geraden betrachten, erhalten wir m1 = tan(θ). Da θ = 90° ist der Tangens von 90° nicht definiert. Das bedeutet, dass m1 unendlich groß ist oder dass die Steigung der ersten Geraden vertikal ist.
Die Steigung der senkrecht stehenden zweiten Geraden, m2 ist der Kehrwert der Steigung der ersten Geraden: m2 = -1/m1. Dies ergibt sich aus der Konstruktion eines Steigungsdreiecks, bei dem die Länge der Gegenkathete die Länge der Ankathete des ersten Steigungsdreiecks ist und umgekehrt. Die Steigung der zweiten Geraden ist also negativ und der Kehrwert der Steigung der ersten Geraden.
Wenn wir nun das Produkt der beiden Steigungen berechnen, erhalten wir m1 m2 = tan(θ) (-1/m1) = -tan(θ). Da θ = 90° ist ist der Tangens von 90° genauso viel mit 0. Daher ist das Produkt der Steigungen m1 * m2 = -1.
Mathematisch betrachtet können wir diese Beziehung ebenfalls durch die Verwendung der Definition der Steigung beweisen. Die Steigung m1 der ersten Geraden ist gleich der Änderung des y-Werts dividiert durch die Änderung des x-Werts. Die Steigung m2 der zweiten Geraden ist der Kehrwert der Steigung der ersten Geraden. Wenn wir die beiden Steigungen m1 und m2 multiplizieren, erhalten wir (Änderung des y-Werts / Änderung des x-Werts) * (Änderung des x-Werts / Änderung des y-Werts) = Änderung des y-Werts / Änderung des y-Werts = 1. Daher ist das Produkt der Steigungen immer -1, wenn zwei Geraden senkrecht zueinander stehen.
Warum stehen Geraden senkrecht zueinander?
Warum ergibt das Produkt der Steigungen von zwei senkrecht zueinander stehenden Geraden immer -1?