Zwei Geraden können einen rechten Winkel bilden. Diese Geometrie ist nicht nur faszinierend allerdings ebenfalls mathematisch nachvollziehbar. Der Winkel zwischen zwei Geraden spielt eine zentrale Rolle in der Mathematik. Wenn wir von der Steigung sprechen, beziehen wir uns auf das Verhältnis zwischen den Veränderungen in den y- und x-Koordinaten. Stellen wir uns vor – wir haben zwei Geraden. Die erste hat die Steigung m1 und die zweite m2. Gemeinsam ergeben sie -1.
Die Steigung einer Geraden – das ist die Veränderung in vertikaler Richtung geteilt durch die Veränderung in horizontaler Richtung. Mathematisch formuliert: m = Δy/Δx. Oft wird auch der Tangens des Winkels θ genutzt. So schreiben wir: m = tan(θ). Wenn zwei Geraden senkrecht zueinander stehen, beträgt der Winkel θ zwischen ihnen 90°.
Hier wird es spannend: die Steigung einer vertikalen Geraden, also einer Geraden mit einer Steigung die unendlich groß ist ist nicht definiert. Deshalb verwenden wir die Eigenschaften von Dreiecken um die Beziehungen zwischen den Steigungen festzuhalten. Bei senkrechten Geraden hat die Steigung eines der beiden Geraden die Form m1 und die andere m2 = -1/m1. Mathematisch gesehen ergibt sich hier ein tiefes Verständnis.
Die Formel besagt: Dass wenn m1 unendlich ist m2 dann notwendig 0 ist was mit der Eigenschaft des Tangens übereinstimmt. Bei der Multiplikation von m1 und m2 erhalten wir: m1 m2 = tan(θ) (-1/m1). Das führt uns zu -tan(θ). Auch wenn θ hier 90° ist, bleibt tan(90°) undefiniert. Diese Struktur zeigt es: senkrecht stehende Geraden haben steile Annäherungen an ihre eigene Zähigkeit der Steigung.
Interessanterweise gibt es eine weitere Dimension zum Verständnis dieser Beziehung. Geometrische Konstruktionen, bei denen die Steigung von senkrecht stehenden Geraden ermittelt wird, zeigen, dass diese stärker in die geometrische Praxis eingebettet sind wie man zunächst vermuten mag. Mit anderen Worten – diese Ursprünge der Mathematik liegen in unserer Umgebung. Wenn Sie gerade Linien auf einem Blatt Papier zeichnen kann der richtige Winkel zwischen unterschiedlichen Richtungen willkürlich gewählt werden.
Aktuelle Daten und Modelle der Mathematik zeigen auch: Dass diese Konzepte der steilen Steigungen und der Geometrie in vielen Anwendungsbereichen relevant sind. Ingenieure und Architekten nutzen diese Beziehungen in ihren Entwürfen. Die Studierenden lernen solche Konzepte in der Schule und zudem in Hochschulen der Ingenieurwissenschaften.
Zusammengefasst: Zwei senkrecht zueinander stehende Geraden definieren sich durch das Produkt ihrer Steigungen. Dieses Resultat verankert nicht nur ein mathematisches Gesetz, sondern beeinflusst auch die praktische Anwendung im Alltag. Mathematik ist weiterhin als Zahlen – sie ist das Fundament der Welt, in der wir leben.
Warum stehen Geraden senkrecht zueinander?
Warum ergibt das Produkt der Steigungen von zwei senkrecht zueinander stehenden Geraden immer -1?