a) Um zu zeigen, dass |AQ| = 2 |AB| gilt, verwenden wir die Eigenschaften eines Parallelogramms. Wir haben gegeben – dass der Abstand der parallelen Geraden AB und 💿 genauso viel mit 6 ist. Da AB und CD genau sind; sind ebenfalls die Strecken DE und BC parallel. Da E der Mittelpunkt von BC ist, gilt also |DE| = 0․5 |BC|. Da die Gerade DE die Strecke BF im Punkt P schneidet, gilt also auch |DP| = 0․5 |BF|.
Da B der Mittelpunkt von AB ist, gilt |AB| = 2 |BF|. Daher ist |DP| = 0․5 |BF| = 0․5 * 0․5 |AB| = 0․25 |AB|. Da P auf der Geraden AB liegt ist auch |AP| = 0․75 |AB|. Da Q der Schnittpunkt der Geraden DE und AB ist ist |AQ| = |AP| + |PQ|. Daher gilt |AQ| = 0․75 |AB| + |PQ|.
Nun müssen wir zeigen, dass |PQ| = 1․25 |AB|. Wir wissen bereits, dass |DP| = 0․25 |AB| ist. Da DP parallel zu AB ist und die Verbindungslinie von zwei parallelen Geraden den gleichen Abstand hat ist |PQ| gleich dem Abstand von DP zur Geraden AB. Da |DP| = 0․25 |AB| ist ist also |PQ| = 0․25 |AB|. Damit erhalten wir |AQ| = 0․75 |AB| + 0․25 |AB| = |AB|. Daher gilt |AQ| = 2 |AB|.
b) Um zu zeigen: Dass der Punkt P auf der Geraden AC liegt betrachten wir die Dreiecke APC und DPB. Da die Seiten AB und CD parallel sind sind die Dreiecke APC und DPB ähnlich. Daher gilt |PC|/|PB| = |AC|/|AD|.
Wir wissen bereits, dass |AC| = 6 ist. Da B der Mittelpunkt von AB ist, gilt auch |PB| = 0․5 |AB|. Da D der Mittelpunkt von CD ist, gilt auch |AD| = 0․5 |CD|. Da die parallelen Geraden AB und CD den Abstand 6 haben ist also |CD| = 12. Daher ist |AD| = 6.
Damit erhalten wir |PC|/|PB| = 6/6 = 1. Das bedeutet, dass P auf der Verlängerung der Strecke AC liegt und |PC| = |PB| = 0․5 |AB| = 0․5 * 2 |AC| = |AC| ist. Daher liegt P auf der Geraden AC.
Um den Abstand von P zur Geraden AB zu bestimmen betrachten wir das Dreieck PAB. Da P auf der Geraden AC liegt – ist der Abstand von P zur Geraden AB gleich dem Abstand von A zur Geraden AB. Wir wissen bereits; dass der Abstand der parallelen Geraden AB und CD gleich 6 ist. Da AB und CD parallel sind – ist der Abstand von A zur Geraden AB also auch 6. Daher ist der Abstand von P zur Geraden AB ähnlich wie 6.
Berechnung von Längen und Abständen in einem Parallelogramm
Wie kann man die Längen von Strecken und den Abstand einer Geraden von einem Punkt in einem Parallelogramm berechnen?