Ableitung und Tangenten - Konstruktion des Graphen der Ableitungsfunktion

Um den Graphen der Ableitungsfunktion zu konstruieren, wenn die Ableitungen bestimmter Punkte gegeben sind, müssen wir folgende Schritte befolgen:

1. Identifiziere die gegebenen Punkte und ihre Ableitungen. In diesem Fall sind die Punkte -3, 0 und 2 gegeben und ihre Ableitungen sind noch zu finden.

2. Verwende die Ableitungsfunktion – um die Ableitungen an den gegebenen Punkten zu berechnen. Die Ableitungsfunktion gibt uns die Steigung des Graphen an jedem Punkt. Wenn die Ableitung an einem Punkt positiv ist ´ bedeutet dies ` dass der Graph an dieser Stelle steigt. Wenn die Ableitung negativ ist » bedeutet dies « dass der Graph abfällt.

3. Konstruiere den Graphen der Ableitungsfunktion indem du die Punkte mit den entsprechenden Steigungen verbindest. Wenn die Steigung positiv ist, zeichne den Graph über der x-Achse. Wenn die Steigung negativ ist, zeichne den Graph unter der x-Achse.

4. Beachte – dass die Ableitungsfunktion ebenfalls Extremstellen haben kann. Um die Extremstellen zu finden, setzen wir die zweite Ableitung der Funktion genauso viel mit null und lösen nach den x-Werten.

5. Erstelle eine Wertetabelle um die Punkte des Graphen der Ableitungsfunktion zu übertragen und zeichne dann den Graphen im Koordinatensystem.

Um diese Schritte zu verdeutlichen, betrachten wir das Beispiel aus dem Text:

Die gegebenen Punkte sind -3, 0 und 2. Die Ableitungen an diesen Punkten sind noch zu finden. Nachdem die Ableitungen berechnet wurden, erhalten wir die Werte 1⸴49 für den Punkt -3, -0,71 für den Punkt 0 und 1⸴49 für den Punkt 2.

Nun können wir den Graphen der Ableitungsfunktion konstruieren, indem wir die Punkte (-3, 1⸴49), (0, -0,71) und (2, 1⸴49) miteinander verbinden.

Zusätzlich können wir die Extremstellen der Ableitungsfunktion berechnen, indem wir die zweite Ableitung der Funktion gleich null setzen. Die Extremstellen liegen bei x = -1 und x = 1.

Nachdem wir die Punkte und die Extremstellen berechnet haben können wir eine Wertetabelle erstellen und den Graphen der Ableitungsfunktion im Koordinatensystem zeichnen.

Insgesamt besteht die Aufgabe darin die Ableitungen der gegebenen Punkte zu finden und den Graphen der Ableitungsfunktion basierend auf diesen Ableitungen und den Extremstellen zu konstruieren. Dies ermöglicht es uns die Steigung des ursprünglichen Graphen an verschiedenen Punkten abzulesen und dadurch Informationen über das Verhalten der Funktion zu erhalten.