Korrektheitsbeweis für einen Algorithmus zur Zählung von Senken in einem Array

Der gegebene Algorithmus hat zum Ziel die Anzahl der Senken in einem gegebenen Array zu zählen. Eine Senke ist definiert als eine Position i, für die gilt: A[i-1] > A[i] < A[i+1]. Der Algorithmus besteht aus einer Schleife die das Array durchläuft und bei jedem Durchgang überprüft, ob die Bedingung für eine Senke erfüllt ist.

Um die Korrektheit des Algorithmus zu beweisen kann man eine Schleifeninvariante aufstellen und diese mittels Induktion beweisen. Eine Schleifeninvariante ist eine Aussage die vor und nach jeder Iteration der Schleife gilt und dazu beiträgt die Korrektheit des Algorithmus zu zeigen.

In diesem Fall könnte die Schleifeninvariante wie folgt aussehen: "Nach dem j-ten Durchgang der Schleife wurden bereits alle Senken bis zur Position j-1 gezählt."

Der Beweis der Schleifeninvariante erfolgt in mehreren Schritten:

1. Initialisierungsphase: Vor dem ersten Durchgang der Schleife gilt die Schleifeninvariante bereits, da noch keine Senken gezählt wurden.

2. Annahme: Die Schleifeninvariante gilt vor dem j-ten Durchgang der Schleife.

3. Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Schleifeninvariante vor dem j-ten Durchgang gilt und zeigen: Sie ebenfalls nach dem j-ten Durchgang weiterhin gilt.

Im Induktionsschritt betrachten wir den j+1-ten Durchgang der Schleife. Wenn A[j] < A[j+1] und A[j-1] > A[j], dann haben wir eine Senke gefunden und können den Zähler erhöhen. Da die Schleifeninvariante vor dem j-ten Durchgang bereits galt, wurden bereits alle Senken bis zur Position j-1 gezählt. Durch die Hinzufügung der Senke an Position j wird die Schleifeninvariante auch nach dem j+1-ten Durchgang immer noch erfüllt.

Nach der Beendigung der Schleife können wir sicher sein, dass alle Senken bis zur Position n-2 gezählt wurden. Die Schleifeninvariante gilt also auch nach der letzten Iteration.

Zusätzlich zu diesem Beweis ist es wichtig zu beachten, dass der Algorithmus für n >= 3 funktioniert. Dies liegt daran – dass eine Senke mindestens drei aufeinanderfolgende Elemente im Array erfordert. Für kleinere Arrays gibt es keine Senken da die Definition nicht erfüllt ist.

Zusammenfassend kann die Korrektheit des Algorithmus zur Zählung von Senken in einem Array mittels einer Schleifeninvariante und Induktion bewiesen werden. Der Algorithmus zählt alle Senken im gegebenen Array, vorausgesetzt, dass n >= 3 erfüllt ist.