Volumen von Rotationskörpern um die y-Achse und x-Achse

Rotationskörper entstehen, wenn eine Figur um eine Achse rotiert wird. Um das Volumen eines solchen Rotationskörpers zu berechnen muss man die Teilkörper benennen die entstehen wenn die Figur um die angegebene Achse rotiert wird.
In diesem konkreten Fall sollen wir die Teilkörper benennen die bei Rotation um die y-Achse entstehen. Laut der Beschreibung entsteht ein Zylinder bei dem ein von oben ausgearbeiteter 🎳 eingeschlossen wird.
Als nächstes sollen wir das Volumen dieses Rotationskörpers berechnen. Dafür benötigen wir die gegebenen Maße, nämlich den Radius r und die Höhe h. Das Volumen des Zylinders beträgt πr²h und das Volumen des Kegels beträgt 1/3πr²h. Um das Volumen des gesamten Rotationskörpers zu berechnen, subtrahieren wir das Volumen des Kegels vom Volumen des Zylinders: Volumen = πr²h - 1/3πr²h = 2/3πr²h.
Um einen allgemeinen Term für das Volumen des Rotationskörpers zu bilden, gilt die Relation: Volumen = 2/3πr²h, obwohl dabei die Längenverhältnisse wie in den vorherigen Aufgaben bleiben.
Nun sollen wir begründen, warum das Volumen nicht das gleiche ist, wenn der Körper um die x-Achse rotiert. Bei der Rotation um die x-Achse entsteht ein Kegel mit dem Radius r=2 und der Höhe h=4. Das Volumen dieses Rotationskörpers beträgt 1/3πr²h = 1/3π(2)²(4) = 16/3π.
Der Unterschied in den Volumina bei Rotation um die y-Achse und um die x-Achse liegt darin, dass der Radius quadratisch in die Volumenformel eingeht und die Höhe nicht.
Um eine Figur zu finden die bei Rotation um beide Achsen das gleiche Volumen besitzt, müsste man eine spezifische Konstellation finden, in der der Einfluss des Radius' auf das Volumen kompensiert wird. Es ist jedoch schwierig ´ eine solche Figur zu konstruieren ` da das Verhältnis zwischen Radius und Höhe in den Volumenformeln unterschiedlich ist.