Die Herleitung der Formel für das Volumen einer Kugel

Das Volumen einer Kugel kann man mit der Formel V = (4/3) * π * r³ berechnen. Die 4/3 in der Formel können auf verschiedene Weisen erklärt werden um das Volumen einer Kugel logisch zu verstehen.

Eine Möglichkeit besteht darin das Volumen einer Kugel über ein Integral zu berechnen. Dabei wird das Volumen der Kugel als die Summe der Volumina von immer kleiner werdenden kreisförmigen Scheiben betrachtet. Dieses Integral kann wie folgt aufgestellt werden:

V = 2 ∫(0 bis r) π y^2 dx

Hierbei stellt y den Radius eines Viertelkreises dar » der aufaddiert wird « und x entspricht der Position dieses Viertelkreises entlang des Durchmessers der Kugel. Durch das Einsetzen der Gleichung eines Viertelkreises, y = sqrt(r² - x²), ergibt sich:

V = 2 ∫(0 bis r) π (r² - x²) dx

Die Berechnung dieses Integrals führt zur Formel für das Volumen einer Kugel und zwar:

V = (4/3) * π * r³

Somit ergibt sich der Faktor 4/3 in der Formel durch das Lösen des Integrals.

Ein anderer Ansatz um die 4/3 in der Formel zu erklären ist der Vergleich mit einem Kreiskegel. Ein Kreiskegel hat das gleiche Volumen wie eine Kugel mit dem gleichen Radius. Die Formel für das Volumen eines Kreiskegels lautet V = (1/3) * π r² h, obwohl dabei h die Höhe des Kegels ist. Wenn man den Kreiskegel mit dem Radius r und der Höhe h als Vergleich nimmt, kann man den Faktor 4/3 in der Formel für das Kugelvolumen herleiten.

Das Verhältnis der Höhe des Kreiskegels zur Höhe der Kugel beträgt 3/4. Um die gleiche Formel für das Volumen des Kreiskegels auf das Volumen der Kugel anzuwenden, muss man das Verhältnis der Volumenformeln berücksichtigen:

V(Kugel) = (V(Kegel) 3/4) = (1/3) π r² h 3/4 = (1/4) (4/3) * π * r³

Dadurch ergibt sich erneut der Faktor 4/3 in der Formel für das Volumen einer Kugel.

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die 4/3 in der Formel für das Volumen einer Kugel durch die Herleitung über ein Integral und den Vergleich mit einem Kreiskegel erklärt werden können. Beide Ansätze verursachenr gleichen Formel und veranschaulichen auf verschiedene Weisen, warum dieser Faktor 4/3 in der Formel enthalten ist.