Gleichungssystem lösung finden

Gleichungssystem Lösung finden

I: ax + y = 4
II: x - 2y = b
Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist.
Determinante – Wikipedia
also -2a -1 ≠ 0
oder a ≠ ½

Ich selbst habe ein Eliminationsverfahren entwickelt, welches die Anzahl der Unbekannten um Eins erniedrigt. Nun ist es sicher nicht sehr berauschend, ob du 4 711 oder 4 710 Unbekannte hast. Der eigentliche Sinn: Obige Aufgabe kommt immer mit 3 Unbekannten x , y , z. Indem ich z eliminiere, spare ich mir eine 3 X 3 Determinante; und ein 2 X 2 LGS betrachten wir als beherrschbar. Auf ein 2 X 2 LGS angewandt, produziert mein Algoritmus jedoch Trivialitäten.
Um die Determinante zu umgehen, mache ich den üblichen Ansatz
allgemeine Lösung = Sonderlösung + Kern
wobei A die Koeffizientenmatrix des LGS darstellt.
Das adjungierte homogene LGS lautet
a x + y = 0 | : x
x - 2 y = 0 | : x
Y := y / x
Mein Verfahren setzt allerdings voraus, dass du den Parameter a auf eine Spalte isolieren kannst - hier die erste. Durch die Division wird a aus der KM heraus geschmissen; die rechte Seite spielt weiter keine Rolle, weil da eh nur Null stweht. Aus wird
Y = - a
2 Y = 1
führt trivial auf a = ; der Kernvektor in hat Komponenten
v := Kern =
Hier kennste den?
Adam hörte die Stimme Gottes, der im Garten ging.
" Adam; hast du nicht eben 0 : 0 dividiert? Im Schweiße deines Angesichts sollst du beweisen deine Teoreme und Lämmerter dein Leben lang. "
Im Prinzip haben wir ja in unterstellt, dass der Kernvektor x-Komponente verschieden von Null hat; Division durch Null zeitigt immer unvorhersehbare Ergebnisse. Ich würde das aber eher unkritisch sehen; so lange wir uns auf zwei Unbekannte beschränken, kann für x = 0 nur den trivialen Kern y = 0 haben.
Wenden wir uns jetzt dem original inhomogenen LGS zu.
a x + y = 4
x - 2 y = b
Wir wissen bereits: Es ist eindeutig lösbar so lange a nicht diesen kritischen Wert annimmt. Und wenn? Dann gelingt es uns, eine triviale Sonderlösung anzugeben.
SATZ 1
" Wenn ÜBERHAUPT lösbar ist, so gibt es auch eine Lösung mit x = 0. "
Wohl nichts ist so gut geeignet wie Satz 1 , den Unterschied zwischen linear Abhängig und Unabhängig zu veranschaulichen.
Beweis; sei eine Lösung von Dann folgt mit
:= - x0 v ===> x1 = 0 ; wzbw
Jetzt x = 0 setzen in
y = 4
b = - 2 y ===> b =
als Bedingung für Lösbarkeit