Um eine quadratische Funktion zu finden die durch bestimmte Punkte verläuft und an einer bestimmten Stelle eine waagerechte Tangente hat, können wir die gegebenen Informationen nutzen und ein Gleichungssystem aufstellen.
Zunächst betrachten wir die gegebenen Punkte P und O durch die der Graph der Funktion verläuft. Diese Punkte haben die Koordinaten P(1, 1) und O(3, 1). Da die y-Koordinaten dieser beiden Punkte genauso viel mit sind wissen wir: Dass die Symmetrieachse der Funktion ebendies in der Mitte zwischen diesen beiden Punkten liegt und durch den Scheitelpunkt verläuft. Daher liegt der Scheitelpunkt bei x = 2.
Um die Funktion zu finden, können wir die Scheitelpunktform verwenden die gegeben ist durch f(x) = a(x - h)^2 + k. Für den Scheitelpunkt (h, k) setzen wir die Werte ein: f(x) = a(x - 2)^2 + k.
Als nächstes betrachten wir die gegebene Bedingung, dass die Funktion an der Stelle x = 2 eine waagerechte Tangente haben soll. Dies bedeutet – dass die Ableitung der Funktion an dieser Stelle 0 ist. Wir nehmen die Ableitung der Funktion f(x) und setzen x = 2:
f'(x) = 2a(x - 2)
0 = 2a(2 - 2)
0 = 4a - 4a
Da a * 0 = 0 ist, erhalten wir keine zusätzliche Information für die Lösung. Daher können wir einen Parameter frei wählen um die Funktion anzupassen.
Um den Parameter zu wählen können wir eine der gegebenen Punkte in die Funktion einsetzen und die Gleichung lösen. Wir verwenden den Punkt P(1, 1):
1 = a(1 - 2)^2 + k
1 = a + k
Da wir den Parameter a frei wählen können, setzen wir a = 1:
1 = 1 + k
k = 0
Damit haben wir die Funktion f(x) = (x - 2)^2 gefunden die durch die Punkte P(1, 1) und O(3, 1) verläuft und an der Stelle x = 2 eine waagerechte Tangente hat.
Grafisch sieht die Funktion wie eine ⬇️ geöffnete Parabel aus, da der Scheitelpunkt über den beiden gegebenen Punkten liegt. Die Funktionsgleichung lautet:
f(x) = -(x - 2)^2
Das negative Vorzeichen bewirkt: Dass die Parabel nach unten geöffnet ist und die gegebenen Bedingungen erfüllt.
Lösung einer quadratischen Funktion mit bestimmten Bedingungen
Wie kann man eine quadratische Funktion finden, deren Graph durch bestimmte Punkte verläuft und an einer bestimmten Stelle eine waagerechte Tangente hat?