Die Entdeckung einer quadratischen Funktion – das klingt zunächst komplex. Doch mit den richtigen Werkzeugen wird es zum Kinderspiel. Stellen wir uns vor – wir möchten eine Funktion finden, deren Graph durch die Punkte P(1, 1) und O(3, 1) verläuft und die an einer Stelle x = 2 eine waagerechte Tangente aufweist. Eine interessante Herausforderung, nicht wahr?
Zuerst analysieren wir die Punkte die zur Verwendung uns von Bedeutung sind. Die Symmetrieachse sitzt ebendies zwischen P und O. Somit ermitteln wir die x-Koordinate des Scheitelpunkts: Er liegt bei x = 2. Dies ist eine zentrale Erkenntnis – die uns bald zum Erfolg führen wird. Um nun die Funktion aufzustellen, verwenden wir die Scheitelpunktform: f(x) = a(x - h)² + k. Hierbei setzen wir h = 2 ein was die Gleichung zu: f(x) = a(x - 2)² + k umformt.
Jetzt kommt der entscheidende Schritt. Die Bedingung einer waagerechten Tangente fordert von uns, dass die Ableitung der Funktion an x = 2 genauso viel mit null ist. Wir leiten also die Funktion ab: f'(x) = 2a(x - 2). An dieser Stelle setzt sich die Rechnung fort – f'(2) muss null ergeben: 0 = 2a(2 - 2) was wiederum in 0 = 0 endet. Diese Tatsache bestätigt eine wichtige Eigenschaft der Funktion. Der Wert a kann also frei gewählt werden – das gibt uns Spielraum.
Folglich wählen wir einen spezifischen Wert für a um das Problem weiter einzugrenzen. Nehmen wir an: a = 1. Damit ergibt sich die Gleichung: 1 = (1 - 2)² + k. Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir 1 = a + k. Indem wir a = 1 annehmen und die Gleichung nach k umstellen, erhalten wir k = 0. Jetzt sind wir nur noch einen Schritt von der Lösung entfernt.
Die so ermittelte Funktion hat die Form f(x) = (x - 2)². Aber damit ist es noch nicht getan. Wir müssen sicherstellen: Dass diese Funktion ebenfalls die Vorgaben erfüllt. Tatsächlich haben wir f(x) so gewählt: Sie durch beide Punkte läuft und die waagerechte Tangente besitzt.
Um die Richtung zu ändern, setzen wir ein negatives Vorzeichen in die Funktion ein: f(x) = -(x - 2)². Dadurch wird die Parabel ⬇️ geöffnet. Diese einfache Transformation erfüllt nicht nur alle Anforderungen, allerdings illustriert auch die zeitlose Schönheit mathematischer Konzepte.
Zusammengefasst – wir haben die Funktion f(x) = -(x - 2)² gefunden die durch die Punkte P(1, 1) und O(3, 1) verläuft und an der Stelle x = 2 eine waagerechte Tangente hat. Eleganz und Einfachheit vereinen sich in dieser mathematischen Konstruktion. Mathematik ist nicht nur eine Wissenschaft – sie ist Kunst.
Lösung einer quadratischen Funktion mit bestimmten Bedingungen
Wie leitet man eine quadratische Funktion ab, die durch bestimmte Punkte verläuft und an einer spezifischen Stelle eine waagerechte Tangente hat?