Die Betrachtung der Stokes-Reibung in Bezug auf ein fallendes Objekt ist ein gewichtiges Thema. Die Differentialgleichung die wir hier analysieren, lautet: \( mv' = -mg - \beta v \). Sie deutet auf die Kräfte hin die auf das fallende Objekt wirken. Dabei steht \( m \) für die Masse, \( g \) für die Erdbeschleunigung und \( \beta \) für den Luftwiderstand. Der Begriff \( v \) stellt die Geschwindigkeit dar die der Körper während des Falls entwickelt. Eine spannende Entdeckung ist die Herleitung und Lösung dieser Gleichung.
Zunächst betrachten wir die homogene Differentialgleichung erster Ordnung. Diese lautet: \( v' - \frac{\beta}{m} v = 0 \). Hierbei ziehen sich die Lösungswege der Differentialgleichung in die Form \( v = C e^{\frac{\beta}{m} t} \). \( C \) ist eine Konstante die wir aus den Anfangsbedingungen ableiten können.
Der nächste Schritt ist entscheidend: die Suche nach einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung. Diese sieht so aus: \( v' - \frac{\beta}{m} v = g \). Die einfache Annahme hier ist, dass die partikuläre Lösung \( v_{\{part}} \) dauerhaft sein könnte. Die Ableitung dieser Konstante verschwindet, deswegen setzen wir \( v_{\{part}} = k \) mit \( v_{\{part}}' = 0 \) ein. Daraus ergibt sich:
\[
-\frac{\beta}{m} k = g \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{g m}{\beta}.
\]
Somit haben wir die partikuläre Lösung gefunden. Die vollständige Lösung ist dann die Summe von der homogenen und der partikulären Lösung:
\[
v = C e^{-\frac{\beta}{m} t} - \frac{g m}{\beta}.
\]
Nun müssen wir die Konstante \( C \) bestimmen. Anfangsbedingungen sind hier wichtig. Wenn \( v(0) = 0 \) ist, setzen wir ein:
\[
0 = C e^{0} - \frac{g m}{\beta} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{g m}{\beta}.
\]
Fügen wir \( C \) zurück in die Gleichung ein. Das ergibt:
\[
v(t) = \frac{g m}{\beta} \left(1 - e^{-\frac{\beta}{m} t}\right).
\]
Diese Formel zeigt die Geschwindigkeit des fallenden Körpers in Abhängigkeit von der Zeit. Ein faszinierender Aspekt ist, dass sich \( v(t) \) der Terminalgeschwindigkeit \( v_T = \frac{g m}{\beta} \) nähert, wenn \( t \) gegen unendlich geht.
Ein Blick auf die praktische Bedeutung dieser Gleichung zeigt die Wichtigkeit der Stokes-Reibung in der realen Welt. Gegenstände ´ die durch Luft fallen ` erfahren diese Art des Widerstands. Zum Beispiel Stimulationsprobleme in der Luftfahrt oder die Berechnung von Fälligkeiten in der Ingenieurwissenschaft. Die Erkenntnisse aus dieser Analyse sind nicht nur für die theoretische Physik von Bedeutung, sie bekommen ebenfalls praktische Relevanz in zahlreichen Anwendungen aus unterschiedlichsten Branchen.
Die Lösung der Differentialgleichung für den Einfluss von Stokes-Reibung auf fallende Körper
Wie löst man die Differentialgleichung erster Ordnung im Fall von Stokes-Reibung für ein fallendes Objekt?