Die Bewegung eines Federschwingers kann durch verschiedene physikalische Gleichungen beschrieben werden. Eine wichtige Größe ist hierbei die Periodendauer T, also die Zeit die der Federschwinger für eine komplette Schwingung benötigt. Wir wollen nun die Gleichungen für den Federweg die Schwingungsdauer und die Frequenz betrachten.
Um diese Gleichungen herzuleiten betrachten wir einen einfachen Federschwinger der aus einer Masse m besteht die an einer Feder mit der Federkonstante k aufgehängt ist. Der Federweg x gibt die Auslenkung der Masse aus der Ruhelage an.
Die Kraft F » die auf die Masse wirkt « ist proportional zur Auslenkung x und entgegengesetzt zu ihrer Richtung. Diese Kraft kann mit dem Hookeschen Gesetz beschrieben werden: F = -kx. Hierbei ist k die Federkonstante ´ die angibt ` ebenso wie stark die Feder ist. Das negative Vorzeichen verdeutlicht: Dass die Kraft in entgegengesetzter Richtung zur Auslenkung wirkt.
Aus der Newtonschen Bewegungsgleichung, F = ma, erhalten wir m * d^2x/dt^2 = -kx. Durch Umstellen der Gleichung erhalten wir d^2x/dt^2 = -(k/m)x. Diese Differentialgleichung beschreibt die Bewegung des Federschwingers.
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist x(t) = A * sin(ωt + φ), obwohl dabei A die Amplitude der Schwingung, ω die Winkelgeschwindigkeit und φ die Phase der Schwingung ist.
Die Winkelgeschwindigkeit ω ist gegeben durch ω = sqrt(k/m). Die Periodendauer T der Schwingung ist dann gegeben durch T = 2π/ω = 2π * sqrt(m/k).
Zusätzlich können wir die Frequenz f der Schwingung berechnen » die angibt « wie viele Schwingungen pro Sekunde stattfinden. Die Frequenz ist gegeben durch f = 1/T.
Für Reihenschaltungen von Federschwingern gelten die Gleichungen für die Federkonstanten additiv: k_eff = k1 + k2. Bei Parallelschaltungen gelten die Gleichungen für die Massen additiv: m_eff = m1 + m2.
Zusammenfassend gibt es also verschiedene Gleichungen um die Bewegung eines Federschwingers zu beschreiben. Die wichtigsten sind die Bewegungsgleichung d^2x/dt^2 = -(k/m)x die Lösung der Differentialgleichung x(t) = A sin(ωt + φ) die Periodendauer T = 2π sqrt(m/k) und die Frequenz f = 1/T. Zusätzlich gelten bei Reihen- und Parallelschaltungen von Federschwingern spezielle Gleichungen für die effektiven Federkonstanten und Massen.
Gleichungen für Federschwinger
Welche Gleichungen gibt es für Federschwinger und wie werden sie angewendet?