In dieser mathematischen Herausforderung geht es um die Entleerung eines Fasses. Der Wasserstand im Fass wird durch die Gleichung h = 5t² - 60t + 180 beschrieben. Hierbei stellt h die Höhe des Wasserstandes in Zentimetern und t die Zeit in Minuten dar. Wir haben zu Beginn 180 cm Wasser im Fass. Dies ergibt sich direkt aus der Gleichung wenn wir t genauso viel mit 0 setzen.
Ein Viertel dieses ursprünglichen Wasserstandes ist einfach zu ermitteln. Wenn das Fass mit 180 cm gefüllt ist dann ist ein Viertel davon gleich 45 cm. Daraus folgt – das Ziel ist es herauszufinden, wann die Wasserstandshöhe 45 cm erreicht wird.
Wir setzen die Gleichung nun gleich 45 cm:
5t² - 60t + 180 = 45.
Das vereinfacht sich einfach, indem wir 45 auf die andere Seite der Gleichung bringen:
5t² - 60t + 180-45 = 0.
Nun können wir die Gleichung ähnlich wie weiter reduzieren:
5t² - 60t + 135 = 0.
Wir teilen die gesamte Gleichung durch 5 um die Berechnung zu vereinfachen:
t² - 12t + 27 = 0.
Jetzt wenden wir die Mitternachtsformel an da wir eine quadratische Gleichung haben. Diese Formel sieht wie folgt aus:
t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.
Im Kondieser Gleichung setzen wir a = 1, b = -12 und c = 27.
Also berechnen wir die Diskriminante:
D = b² - 4ac = (-12)² - 4*1*27 = 144-108 = 36.
Da die Diskriminante positiv ist gibt es zwei Lösungen für t. Nun setzen wir die Werte in die Mitternachtsformel ein:
t = (12 ± √36) / 2*1.
Da √36 = 6 ist, erhalten wir zwei mögliche Lösungen für t:
t = (12 + 6) / 2 = 9
t = (12 - 6) / 2 = 3.
Damit haben wir zwei Zeitpunkte an denen der Wasserstand im Fass 45 cm beträgt. Die ersten 3 Minuten sind eine Lösung und die weitere Lösung zeigt die Zeit von 9 Minuten. Wichtig zu beachten - das Fass ist nach 3 Minuten zum ersten Mal auf ein Viertel seiner Füllmenge geleert. Nach 9 Minuten erreicht es diesen Wasserstand wieder.
Zusammengefasst das Ziel von einem Viertel des ursprünglichen Wasserstandes ist nach 3 Minuten erreicht. Zudem zeigt die zweite Lösung nach 9 Minuten, dass der Wasserstand erneut auf 45 cm absinkt. Das kann in der realen Welt interessante Implikationen haben insbesondere für den Wasserverbrauch in Haushalten oder bei der Berechnung von Speicherkapazitäten für verschiedene Anwendungen.
Wann ist das Fass nur noch ein Viertel voll?
Wie berechnet man den Zeitpunkt, an dem ein Fass bis auf ein Viertel seiner ursprünglichen Füllmenge geleert wird?