Die Mystik der Quadratzahlen: Gibt es negative Quadratzahlen?

Die Welt der Zahlen ist faszinierend, vielschichtig und birgt zahlreiche Geheimnisse. Ein oft gestelltes Anliegen ist die Frage nach der Existenz negativer Quadratzahlen. Es gibt keine negativen Quadratzahlen – und das hat seine ganz eigenen Gründe. Quadratzahlen entstehen – wenn eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Ein einfaches Beispiel: 2 mal 2 ergibt 4. Das Resultat ist positiv. Doch was passiert, wenn wir eine negative Zahl wählen? – Wir multiplizieren -2 mit -2. Das Ergebnis bleibt ähnlich wie 4. So kommt es – dass negative Zahlen bei dieser Operation nicht den gewünschten negativen Effekt haben. Letztlich gilt: ➖ mal Minus ergibt Plus.

Im universellen Zahlenraum, insbesondere in der Menge der natürlichen Zahlen ℕ und der gesamten Zahlen ℤ, existieren also ausschließlich positive Quadratzahlen und ebenfalls die Null. Der Wert von 0 multipliziert mit 0 ergibt 0 – und ist demzufolge ein Grenzfall. Aber wo tritt die Imagination ins Spiel?

Wir müssen über die herkömmliche Zahlendarstellung hinausblicken. Wenn man in die Welt der komplexen Zahlen eintaucht, stößt man auf die imaginäre Einheit i die definiert ist durch die Eigenschaft, dass i² = -1. Diese Form der Zahlen ist jedoch nicht das was man gemeinhin als Quadratzahl bezeichnet. Die Erstellung von Quadratzahlen wird über den Rahmen der ganzen Zahlen hinaus telegraphiert.

Zahlen wie -1 sind also nicht Quadratzahlen. Ein Vielfaches von i – zum Beispiel i, 2i oder -3i – kann jedoch im Quadrat ein negatives Ergebnis liefern um ebendies zu sein: (-i)² = -1. Aber diese Ergebnisse sind in der höheren Mathematik und im Konkomplexer Zahlen zu verorten. In der gewöhnlichen Arithmetik sind sie nicht relevant denn das Konzept der Quadratzahl begrenzt sich auf die ganzen Zahlen.

Die Definition von Quadratzahlen steht auf der Stelle. Ein Bezug zu den Zahlenreihen – wie dem Einfluss der Naturzahlen auf die positiven Ergebnisse – unterstreicht die Wichtigkeit der Multiplikation von Zahlen mit sich selbst. Man findet dort keine negativen Extremitäten. Eine böse Zauberformel verhinderte einfach solche Phänomene im Konder alltäglichen Mathematik.

Zusammengefasst bleibt festzustellen » dass keine negative Quadratzahl existiert « wenn wir uns auf natürliche und ganze Zahlen beschränken. Der Zugang zu den imaginären Zahlen eröffnet eine neue Dimension der Mathematik freilich bleibt das besprochene Thema der Quadratzahlen auf die positiven Zahlen und Null eingrenzbar. Man könnte sagen die Mathematik verbirgt in jedem ihrer Konzepte eigene Rätsel - nur um sie mit jedem neuen Verständnis zu entschlüsseln.