Erwartungswert in der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Ein einfaches Beispiel

Mathematik hat ihre eigenen Regeln. Speziell im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung offenbart sich ein faszinierendes Zusammenspiel. In diesemschauen wir uns ein Beispiel genauer an. Die Aufgabe bezieht sich auf das Verhalten beim Ziehen von Karten. Ein Set besteht aus drei roten und drei schwarzen Karten. Man fragt sich ebenso wie viele Karten im Durchschnitt gezogen werden müssen um die erste rote Karte zu erhalten. Das Ergebnis, das von Ihrem Lehrer bereitgestellt wurde ist E = 1⸴75. Doch wie kommt man zu dieser Lösung?

Zunächst eine grundlegende Überlegung: Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug eine rote Karte zu ziehen, beträgt p' = ½. Dies ist eine einfache Rechnung. Man hat ja insgesamt sechs Karten – von denen die Hälfte rot ist. Über die Wahrscheinlichkeiten der nachfolgenden Züge wird es jedoch komplexer.

Im ersten Zug wird eine schwarze Karte (sw) gezogen, dann beläuft sich die Wahrscheinlichkeit zur roten Karte im zweiten Zug auf p" = ½ • ⅗. Der Weg ´ um die Konstellation weiter zu betrachten ` folgt dem gleichen Muster. Zieht man im ersten Zug eine schwarze Karte und dann eine weitere schwarze Karte (2. Zug), hat man die Wahrscheinlichkeit für den dritten Zug, eine rote Karte zu ziehen: p"' = ½ • ⅖ • ¾. Es wird zunehmend klarer – dass die Wahrscheinlichkeiten abhängen von den vorherigen Zügen.

Die Gesamtformel für den Erwartungswert lautet:
E = p' + 2p'' + 3p''' + 4p''''. Sie beschreibt die Summe der Werte multipliziert mit ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit.

Ziehen wir einige Zahlen heran. Die Rechnung führt uns auf folgende Werte: 3/6 · 1 + 3/6 · 3/5 · 2 + 3/6 · 2/5 · 3/4 · 3 + 3/6 · 2/5 · 1/4 · 3/3 · 4. Es handelt sich hier um eine statistische Betrachtung. Dieses Konstrukt führt uns zur Lösung: 3/6 + 18/30 + 54/120 + 72/360 = 1⸴75.

Diese Methodik — die Verwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Aufstellung des Erwartungswerts — lässt sich in Schulbüchern nachlesen, dort müssen Schülerinnen und Schüler die Berechnung jedoch oft unangenehm umständlich schriftlich durchführen. In Online-Plattformen könnte das Lernen einfacher sein. In Anbetracht der vielfältigen Anwendungen ist es ebenfalls essentiell, solche Zusammenhänge zu verstehen.

Zusammengefasst lässt sich sagen — Mathematik mag auf den ersten Blick trocken wirken, sie birgt jedoch spannende Herausforderungen und Lösungen. Der Erwartungswert in unserem 🃏 zeigt uns das faszinierende resultierende Zusammenspiel von zufälligen Ereignissen. Solche analytischen Fähigkeiten kann einer Abiturientin oder einem Abiturienten im Unterricht erhebliche Vorteile für zukünftige Prüfungen bringen.