Um herauszufinden für welchen Wert von a das Spiel fair ist müssen wir den Erwartungswert berechnen. Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert der möglichen Auszahlungen gewichtet mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
Der Würfel hat 6 Seiten von denen 3 Seiten die Zahl 2 zeigen. Wir möchten nun die Wahrscheinlichkeiten berechnen, ebenso wie oft eine Zwei geworfen wird.
Wir betrachten zuerst den Fall: Dass ebendies eine Zwei geworfen wird. Es gibt 3 Möglichkeiten ´ wie die eine Zwei angeordnet werden kann ` da Heino dreimal würfelt. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Zwei beträgt in jedem Wurf 3/6 oder 1/2. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Nicht-Zwei beträgt 1 - 1/2 = 1/2. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für genau eine Zwei 3 (1/2) (1/2) * (1/2) = 3 / 8.
Als nächstes betrachten wir den Fall: Dass genau zwei Zweien geworfen werden. Es gibt ähnlich wie 3 Möglichkeiten wie die beiden Zweien angeordnet werden können. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Zwei beträgt 3/6 oder 1/2. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Nicht-Zwei beträgt 1 - 1/2 = 1/2. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Zweien 3 (1/2) (1/2) * (1/2) = 3 / 8.
Schließlich betrachten wir den Fall, dass genau drei Zweien geworfen werden. Es gibt nur eine Möglichkeit wie die drei Zweien angeordnet werden können. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Zwei beträgt 3/6 oder 1/2. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Nicht-Zwei beträgt 1 - 1/2 = 1/2. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für genau drei Zweien 1 (1/2) (1/2) * (1/2) = 1 / 8.
Nun können wir den Erwartungswert berechnen. Der Erwartungswert ist die Summe der Produkte aus den Auszahlungen und ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten:
(3/8) a + (3/8) (2a) + (1/8) * (3a) = 6.
Multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten mit den Auszahlungen aus, erhalten wir:
(3/8) a + (3/8) (2a) + (1/8) * (3a) = 6.
Durch Koeffizientenvergleich lösen wir die Gleichung:
3/8a + 6/8a + 3/8a = 6.
Addieren wir die Koeffizienten der Variablen a, erhalten wir:
12/8a = 6.
Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 12/8, erhalten wir:
a = 6 / (12/8) = 6 * (8/12) = 4.
Daher ist das Spiel fair, wenn Heino für jede geworfene Zwei eine Sofortauszahlung von 4€ erhält.
Lösung für eine faire Spielwette
Für welchen Wert von a ist das Spiel fair, wenn Heino dreimal würfelt und bei jeder Zwei eine Sofortauszahlung von a€ erhält?