Lösung für eine faire Spielwette

Woher kommt die Fairness in einem Glücksspiel?**

Um herauszufinden bei welchem Wert von a das Würfelspiel für Heino fair ist müssen wir den Erwartungswert berechnen. Der Erwartungswert ist der gewichtete Durchschnitt der möglichen Auszahlungen, tätig in Bezug auf ihre Wahrscheinlichkeiten.

Heino würfelt drei Mal. Der Würfel besitzt 6 Seiten wovon drei Seiten die Zahl 2 zeigen. Ein Würfelwurf zeigt also in der Hälfte der Fälle eine Zwei. Überzeugender Fakt: Wir müssen also die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass Heino eine Zwei wirft.

Zuerst – glauben Sie es oder nicht – betrachten wir den Fall, in dem ebendies eine Zwei geworfen wird. Hier bietet sich eine interessante Konstellation an. Es gibt 3 Variationen. Heino hat nämlich dreimal die Chance eine Zwei zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei zu würfeln, beträgt also 1/2. Ein Wurf kann ebenfalls nicht zu dieser Zahl führen was zur Startwertveränderung von 1/2 als Nichtergebnis führt. Die Wahrscheinlichkeit für genau eine Zwei resultiert in 3 (1/2) (1/2) * (1/2) – das ergibt 3/8.

Der nächste Schritt: Es gibt zusätzlich dazu Möglichkeiten! Nun schauen wir uns den Fall mit zwei geworfenen Zweien an. Überraschenderweise ergeben sich damit ähnlich wie 3 Anordnungen. Die Berechnungen bleiben sehr ähnlich. Sie sind so 1/2 für den Fall der stark positionierten Zwei. Der Platz für eine Nicht-Zwei bleibt 1/2. Die Schlussfolgerung: Die Chance, genau zwei Zweien zu würfeln ist ebenfalls 3 (1/2) (1/2) * (1/2) was wieder 3/8 ergibt.

Nun wird's spannend – der Fall, in dem er dreimal eine Zwei würfelt. Wie viele Möglichkeiten gibt es hier? Nur eine! Heino kann die Zahl nur einmal in voller Besetzung auf dem Tisch haben. Somit berechnen wir: 1 (1/2) (1/2) * (1/2) – auch hierbei kommen wir auf 1/8.

Mit all diesen Wahrscheinlichkeiten können wir jetzt » mit etwas Mathematik und einer Prise Geduld « den Erwartungswert ermitteln. Der Erwartungswert berechnet sich wie folgt: Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten mit ihren jeweiligen Auszahlungen:

(3/8) a + (3/8) (2a) + (1/8) * (3a) = 6.

Hierbei werden die Auszahlungen in Verbindung gesetzt. Wenn wir diese einzelnen Bestandteile zusammenfassen, gelangen wir zur Gleichung:

3/8a + 6/8a + 3/8a = 6.

Wenn wir die Koeffizienten der Variablen a addieren, erhalten wir 12/8a = 6. Teilen wir beide Seiten durch 12/8, führt das zur Konsequenz:

a = 6 / (12/8) = 6 * (8/12) = 4.

Daher: Das Spiel ist fair, wenn Heino 4€ für jede geworfene Zwei erhält.

Diese Betrachtung zeigt: Dass Mathematik und Glücksspiel oft eng miteinander verwoben sind. Ein interessantes Beispiel für die Anwendung mathematischer Konzepte in alltäglichen Spielen, das auch Blaupausen für die Gleichheit im Spielgeschehen aufzeigt.