Die Mathematik ist oft eine Herausforderung. Insbesondere die Integralrechnung kann dabei auf hohe Hürden stoßen. In diesemwerden wir die Schritte zur Berechnung des Volumens eines Footballs analysieren. Dieser entsteht durch die Rotation einer Parabel um die X-Achse.
Zunächst schauen wir uns die Grundlagen an. Der Football hat eine Breite von 7 Zoll und eine Länge von 11⸴25 Zoll. Daraus ergibt sich – dass die Parabel eine ⬇️ geöffnete Form hat. Der Scheitelpunkt liegt auf der Y-Achse – das ist der Punkt, von dem aus der Football seine Form erhält. Wir setzen die Funktion der Parabel auf die allgemeine Form: \( f(x) = a \cdot x^2 + b \).
Um die Werte \(a\) und \(b\) zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Maße des Footballs. Basierend auf den Regeln der Schule und den Informationen erstellen wir die Gleichung der Parabel. Wir setzen für die Breite den Wert 5⸴625 Zoll ins Spiel. Daraufhin ergeben sich die Nullstellen: \( x = -5.625 \) und \( x = 5․625 \). Diese Punkte geben den Umfang des Footballs an.
Ein weiteres wichtiges Konzept ist die Anwendung von Integralen. Das Volumen \(V\) eines Körpers der um eine Achse rotiert, wird mittels der Formel \( V = \pi \int f^2 \, dx \) berechnet. Die Grenzen des Integrals sind dabei die Nullstellen der Parabel. Damit können wir das Volumen für eine Hälfte des Footballs berechnen.
Wie geht es konkret weiter? Indem wir \(f(x)\) berechnen. Die Werte für \(a\) und \(b\) werden durch die Aufstellungen ermittelt – besonders wenn wir die gesteckten Grenzen berücksichtigen. Wir setzen die genannten Werte ein und dadurch ergibt sich:
\( b = -3.5 \) und \( a = \frac{3.5}{5.625^2} \).
Nach dem Einsetzen dieser Werte erhalten wir:
\( f(x) = 3․5 \cdot (x^2 - 1) \).
Kommen wir nun zur Volumenberechnung zurück. Für das Volumen eines Rotationskörpers verwenden wir ´ ebenso wie erwähnt ` die Formel. Ist \(c\) die halbe Breite des Footballs, setzen wir dafür den Wert \(c = 5․625\) ein. Das ergibt:
\( V = 2 \pi \int f^2 \, dx \).
Wegen der Symmetrie des Körpers multiplizieren wir das Ergebnis mit zwei. An dieser Stelle ändert sich der Integrationsweg nicht. Der Umstand, dass wir \(f\) durch eine Substitution vereinfachen müssen führt uns letztendlich zu einem bestimmten Integral das über die Stammfunktion ausgewertet werden kann.
Fazit: Nach all den Berechnungen und den Ableitungen erhält man schließlich das Volumen. Resultierend kommt ein Wert heraus der annähernd bei 230⸴9 kubischen Zoll liegt. Damit ist das Problem der Berechnung des Volumens eines Footballs ´ der durch die Rotation einer Parabel entsteht ` gelöst. Die Mathematik fordert heraus, bereitet jedoch ebenfalls Freude – durch logisches Denken und analytische Fähigkeiten.
Sind Sie bereit, sich mit der Integralrechnung intensiv auseinanderzusetzen? Das Verständnis dieser Konzepte öffnet Türen für umfassendere mathematische Fragestellungen.
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