Die Mathematik, so die Allgemeinheit ist häufig nicht leicht zu verstehen. Besonders bei Funktionen ist es oft schwer zwischen Extrempunkten und Sattelpunkten zu unterscheiden. Der Ursprung ´ wie häufig besuchter Punkt der Funktion f ` lohnt in diesem Zusammenhang besondere Beachtung. Eine genaue Untersuchung zu Sattel- und Extrempunkten ergibt, dass diese durch die Ableitungen entscheidend bestimmt werden.
Zu Beginn ist es wichtig zu bemerken – wenn die erste Ableitung f' an einem Punkt x genauso viel mit null ist, so spricht man von einer Kritischen Stelle. An derartigen Punkten kann die Funktion f sowie Extremwerte als ebenfalls Wendepunkte aufweisen. Ist f' am Ursprung gleich Null und besitzt einen Extrempunkt, sprechen wir meist von einer interessanten Situation. Hier gilt: Ist der Extrempunkt lokal ein Maximum, dann wird der Graph von f' vor und nach dem Punkt negativ—d.h. die Steigung der Funktion f verläuft am Ursprung zunächst bergab. Umgekehrt bei einem lokalen Minimum ist die Situation die gleiche nur: Dass die Steigung zunächst bergauf verläuft.
Man könnte sagen diese Überlegungen zielen auf den Beweis eines Sattelpunkts ab. In der Tat – denn ein Sattelpunkt zeigt sich als Wendepunkt der Funktion f. Das bedeutet: Die Funktion wird am Punkt x=0 entweder zuerst größer oder kleiner, bleibt dann aber vorübergehend auf gleicher Höhe um danach wieder einen anderen Verlauf aufzuweisen. Ein weiterer wichtiger Aspekt – eine notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt ist, dass die erste Ableitung f' an dieser Stelle gleich null ist und idealerweise auch die zweite Ableitung f'' an diesem Punkt gleich null sein könnte.
Nun wird es spannender. In den meisten Lehrplänen lernt man: Besitzt die zweite Ableitung zur Nullstelle der ersten Ableitung einen Wert ungleich null, dann handelt es sich um einen Extrempunkt. Ist f'' hingegen gleich null, bleibt es ungewiss. Hier kann eine bessere Regel aufgestellt werden. Betrachtet man die Ableitungen darüber hinaus, bis zur n-ten Ableitung und ist diese ungleich null, so befindet man sich sicher im Bereich der Extrempunkte. Die Schlüsselfrage bleibt jedoch: Was ist mit der dritte Ableitung?
Ist f''' ungleich null und ungerade, so stellt sich heraus — wir haben einen Extrempunkt. Ist die dritte Ableitung hingegen gerade handelt es sich folglich um einen Sattelpunkt. Der Sattelpunkt demonstriert: Der Graph vorübergehend einen Höhen- oder Tiefenpunkt erreicht freilich nicht an dieser Stelle umkehrt. Zusammengefasst kann man sagen, dass sich durch dauerhafte Ableitungen zu einem Punkt herausstellen lässt, wieso ein Sattel- oder Extrempunkt existiert. Wichtig bleibt jedoch die Frage des Betrachtens nach den Ableitungen: Wer sich bei der Überprüfung der kniffligen Ableitungen viel Mühe gibt der erhält auch den 🔑 zu einem tieferen Verständnis.
In der Anwendung wird das Schulen eines scharfen Blicks auf Funktionsverläufe eine immense Bedeutung haben. Ungeachtet der Komplexität des Themas – das Verständnis von Sattel- und Extrempunkten ist es wert, sich damit zu beschäftigen. Für denjenigen der sich nicht scheut auch mal tiefer in die Mathematik einzutauchen entpuppen sich eine Vielzahl an interessanten Erkenntnissen.
Sattelpunkt oder Extrempunkt – Wie erkennt man die beiden Formationen einer Funktion?
Unter welchen Bedingungen hat eine Funktion am Ursprung einen Sattelpunkt, wenn die erste Ableitung dort eine Nullstelle und einen Extrempunkt besitzt?