Die Anforderungen an eine ganzrationale Funktion dritten Grades sind oft komplex. Diese Funktionen haben bekanntlich die allgemeine Form \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Insbesondere müssen wir beim Arbeiten mit solchen Funktionen auf bestimmte Punkte achten. Diese Punkte können Extrempunkte oder Wendepunkte umfassen. Der Umgang mit diesen Punkten erfordert數 verschiedene Bedingungen die in mathematische Gleichungen übersetzt werden müssen.
Wenn Sie bereits wissen, dass der Funktionswert an zwei Punkten gegeben ist, also \(f(-2) = 0\) und \(f(0) = -2\), dann stehen Ihnen bereits zwei Informationen zur Verfügung. Diese Informationen werden in das Funktionsschema \(f(x)\) eingesetzt. Die Ableitungen der Funktion sind ähnelt wichtig. Die erste Ableitung ist gegeben durch \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und die zweite Ableitung durch \(f''(x) = 6ax + 2b\).
Beginnen wir mit den Entscheidungen über die Bedingungen. Nehmen wir an der Extrempunkt liegt bei \(E\) und der Wendepunkt bei \(W\). An diesen Punkten ergeben sich spezifische Gleichungen. Setzen Sie zum Beispiel die Notwendigkeit: Dass die erste Ableitung an einem Extrempunkt genauso viel mit Null ist. Dies führt zur Gleichung \(f'(x_E) = 0\). Für den Wendepunkt gilt \(f''(x_W) = 0\).
Jetzt können wir ein Gleichungssystem aufstellen. Für den Funktionswert gelten folgende Beziehungen:
1. \(f(-2) = -8a + 4b - 2c + d = 0\)
2. \(f(0) = d = -2\)
3. \(f'(x_E) = 12a - 4b + c = 0\)
4. \(f''(x_W) = -6a + 2b = 0\)
Mit dieser Sammlung von vier Gleichungen haben wir ein vollständiges Gleichungssystem. Um die Variablen \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) zu ermitteln, können wir nun die Matrix dieser Gleichungen bilden und das Gauß-Verfahren anwenden.
Die Matrix sieht folgendermaßen aus:
\[
\begin{pmatrix}
-8 & 4 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\
12 & -4 & 1 & 0 & 0 \\
-6 & 2 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
Bei der Anwendung des Gauß-Verfahrens kommt heraus, dass \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 0\) und \(d = -4\). Damit ergibt sich die Funktionsgleichung:
\[
f(x) = x^3 + 3x^2 - 4
\]
Die Ableitungen dieser Funktion sind:
\[
f'(x) = 3x^2 + 6x
\]
und
\[
f''(x) = 6x + 6
\]
Diese Schritte zeigen deutlich ebenso wie Sie von den gegebenen Punktbedingungen zu einer vollständigen Funktion gelangen. Passt auf : Dass die Extrempunkte und Wendepunkte den Verlauf der Funktion in Bezug auf die Steigung und das Krümmungsverhalten maßgeblich beeinflussen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Verständnis der Bedingungen und die Fähigkeit diese in das Funktionenschema zu integrieren, entscheidend sind. Es ist eine interessante und herausfordernde Aufgabe eine ganzrationale Funktion zu ermitteln jedoch letztlich ist es ein fragiles Gleichgewicht zwischen Algebra und Verständnis für die Eigenschaften dieser Funktionen. Machen Sie weiter so – die Herausforderungen des Funktionenzusammenhangs sind ein spannendes Gebiet in der Mathematik!
Die Bestimmung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades: Über Extrempunkte und Wendepunkte
Wie ermittelt man eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die bestimmte Extrem- und Wendepunkte hat?