Um zu zeigen, dass jede ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad größer als 1 mindestens einen Wendepunkt hat, können wir die Eigenschaften von Wendepunkten und die Charakteristiken von Funktionen mit ungeradem Grad nutzen.
a) Zunächst einmal ist es wichtig zu verstehen, dass ein Wendepunkt einer Funktion der Punkt ist, an dem die Funktion von konvex zu konkav oder von konkav zu konvex wechselt, also der Punkt zwischen einem Tiefpunkt und einem Hochpunkt. Funktionen mit ungeradem Grad größer als 1 haben mindestens eine Stelle, an der die Krümmung der Funktion wechselt. Dies liegt daran, dass solche Funktionen zuerst steigen, dann kurz eben bleiben und schließlich wieder steigen. Dieser Wechsel in der Krümmung führt zu einem Wendepunkt. Mathematisch gesehen hat eine Funktion an einer Stelle einen Wendepunkt, wenn die 2. Ableitung an dieser Stelle das Vorzeichen wechselt. Da der Grad der Funktion ungerade und größer als 1 ist, hat die zweite Ableitung einen ungeraden Grad von mindestens 1. Ganzrationale Funktionen mit ungeraden Graden haben immer mindestens eine Stelle, an der das Vorzeichen gewechselt wird. Somit hat die Funktion mindestens einen Wendepunkt.
b) Wenn bei einer ganzrationalen Funktion dritten Grades der quadratische Summand fehlt, also die Funktion die Form ax^3+cx+d hat, dann liegt der Wendepunkt auf der y-Achse. Um dies zu erklären, können wir folgendermaßen vorgehen: Bestimmen wir die 2. Ableitung der Funktion und setzen wir für x den Wert 0 ein. Da der quadratische Term fehlt – verschwindet die 2. Ableitung bei x=0 und dadurch wechselt das Vorzeichen nicht. Dies bedeutet, dass die Funktion bei x=0 einen Wendepunkt hat und da die 2. Ableitung verschwindet, liegt dieser Wendepunkt auf der y-Achse.
Insgesamt können wir also zeigen, dass ganzrationale Funktionen mit ungeradem Grad größer als 1 mindestens einen Wendepunkt haben und dass bei einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ohne quadratischen Summanden der Wendepunkt auf der y-Achse liegt, indem wir die Charakteristiken der Funktionen und die Eigenschaften der Ableitungen nutzen.
Wendepunkte bei ganzrationalen Funktionen
Wie kann man zeigen, dass jede ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad größer als 1 mindestens einen Wendepunkt hat? Und warum liegt bei einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ohne quadratischen Summanden der Wendepunkt auf der y-Achse?