Die Chiapas-Wildwasserbahn hat eine Gesamtlänge von 6920 Metern. Die steilste Abfahrt befindet sich relativ weit am Ende der Bahn. Um die gesuchte ganzrationale Funktion für diesen Abschnitt zu bestimmen und die Bedingungen daraus abzuleiten, gehen wir schrittweise vor.
a) Bestimmung des Grades der Funktion:
Um den Grad der gesuchten Funktion zu bestimmen müssen wir uns zunächst die gegebenen Informationen genauer ansehen. Die steilste Stelle der Bahn befindet sich 4⸴3 Meter nach dem Beginn des Abschnitts und hat eine Höhe von 8 Metern. Die Funktion muss also mindestens eine Wendepunkt bei dieser Stelle haben. Da keine weiteren Informationen zu anderen Wendepunkten gegeben sind, können wir den Grad der Funktion nicht eindeutig bestimmen. Es könnte jedoch ebenfalls eine Rechtskrümmung direkt vor der rechten roten Linie geben, mittels welchem ein weiterer Wendepunkt hinzukommt.
b) Bedingungen für die Funktion:
Um die Bedingungen für die Funktion herzuleiten nutzen wir die gegebenen Informationen zur Wildwasserbahn.
1. Nach 3⸴7 Metern (horizontale Breite) befindet sich die Bahn in einer Höhe von 13⸴1 Metern. Dies gibt uns den Punkt (3,7, 13⸴1) für die Funktion.
2. Nach 4⸴3 Metern erreicht die Bahn ihre steilste Stelle in einer Höhe von 8 Metern. Dies gibt uns den Punkt (4,3, 8) für die Funktion.
3. 16 Meter nach dem Beginn des Abschnitts erreicht die Bahn die tiefste Stelle der Abfahrt. Dies gibt uns einen weiteren Punkt für die Funktion, nämlich (16, H), obwohl dabei H die Höhe der tiefsten Stelle in Metern ist.
Um die Funktion zu bestimmen, setzen wir diese Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ein:
f(x) = a x^n + b x^(n-1) + ... + c
Setzen wir die Punkte (3,7, 13⸴1) und (4,3, 8) ein, erhalten wir ein Gleichungssystem:
13⸴1 = a (3,7)^n + b (3,7)^(n-1) + ... + c
8 = a (4,3)^n + b (4,3)^(n-1) + ... + c
Um weitere Bedingungen für die Funktion zu erhalten, setzen wir den Punkt (16, H) ein:
H = a (16)^n + b (16)^(n-1) + ... + c
Dieses Gleichungssystem kann gelöst werden um die Koeffizienten der Funktion zu bestimmen. Wenn es weniger Gleichungen als Funktionsparameter gibt haben wir entweder eine Bedingung übersehen oder den Grad der Funktion zu hoch angesetzt.
Zusätzlich zu den Bedingungen für die Funktion können wir auch Bedingungen für die Ableitungen erhalten, indem wir die gegebenen Informationen zur Steigung der Bahn verwenden. Dies kann durch Ableiten der Funktion und Einsetzen der entsprechenden Werte für x erfolgen.
Insgesamt erfordert die Aufgabe eine sorgfältige Analyse der gegebenen Informationen die Nutzung der allgemeinen Funktionsgleichung und die Lösung eines Gleichungssystems um die gesuchte ganzrationale Funktion und die Bedingungen daraus zu bestimmen.
Die Steckbriefaufgabe der Chiapas: Bestimmung der Funktion und Ableitungen
Wie kann die gesuchte ganzrationale Funktion für den markierten Abschnitt der Chiapas-Wildwasserbahn bestimmt werden und welche Bedingungen können aus den gegebenen Informationen abgeleitet werden?