Um zu verstehen welche Bedingungen erfüllt sein müssen, zu diesem Zweck ein Graph einen Extrempunkt und einen Wendepunkt hat, betrachten wir die Bedingungen für Funktionen dritten Grades genauer.
Eine Funktion dritten Grades hat die allgemeine Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Um die Bedingungen für einen Extrempunkt und einen Wendepunkt zu bestimmen, müssen wir Ableitungen der Funktion berechnen und diese in Bezug auf die Extrem- und Wendepunkte setzen.
Die Bedingungen für einen Extrempunkt sind f'(x) = 0 und f''(x) != 0. Dabei ist f'(x) die erste Ableitung der Funktion und f''(x) die zweite Ableitung. Die Bedingung f'(x) = 0 stellt sicher, dass an der Stelle des Extrempunktes die Steigung der Funktion null ist. Die Bedingung f''(x) != 0 besagt, dass die Krümmung an dieser Stelle nicht null ist was für ein Minimum oder Maximum charakteristisch ist.
Für einen Wendepunkt müssen die Bedingungen f''(x) = 0 und f'''(x) != 0 erfüllt sein. Dabei ist f'''(x) die dritte Ableitung der Funktion. Die Bedingung f''(x) = 0 zeigt an, dass an der Stelle des Wendepunktes die Krümmung der Funktion null ist. Die Bedingung f'''(x) != 0 stellt sicher, dass die Änderung der Krümmung an dieser Stelle nicht null ist was für einen Wendepunkt typisch ist.
Im vorliegenden Fall ist bekannt, dass der Graph einen Extrempunkt bei x = 3 hat und durch den Punkt P verläuft. Zusätzlich verläuft der Graph durch einen Wendepunkt. Mit diesen Informationen können die Bedingungen für Extrem- und Wendepunkte auf die konkrete Funktion angewendet werden um die Koeffizienten a, b, c und d zu bestimmen. Durch Einsetzen der gegebenen Werte in die Bedingungen kann die Funktion bestimmt werden und dadurch können die Anforderungen an den Graphen erfüllt werden.
Bedingungen für Extrem- und Wendepunkte in einem Graphen
Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Graph einen Extrempunkt und einen Wendepunkt hat, und wie können diese Bedingungen für einen Graphen dritten Grades konkret angewendet werden?