Um den Sattelpunkt einer Funktion an einer bestimmten Stelle nachzuweisen, muss man ein paar clevere Schritte befolgen. Stell dir vor – du bist auf der Suche nach einem verborgenen Schatz in Form eines Sattelpunktes auf dem Graphen. Dieser Punkt genau ähnlich wie einem Sattel auf einem Pferd - weder ein Maximum noch ein Minimum, allerdings ein spezieller Punkt.
Zuerst überprüfst du, ob die zweite Ableitung der Funktion an der Stelle x=4 genauso viel mit 0 ist. Das bedeutet – dass die Funktion an dieser Stelle keine Steigung aufweist. Es ist wie ob du auf einer flachen Ebene stehst und keine Richtung vorgegeben ist - du bist im Sattelpunkt angekommen.
Dann musst du das Kriterium für einen Wendepunkt anwenden. Dazu setzt du die zweite Ableitung gleich 0 und erhältst einen Wert. Wenn dieser Wert 0 ist – hast du eine mögliche Chance auf den Sattelpunkt.
Aber da bleibt noch ein weiterer Schritt. Du musst das Vorzeichenwechselkriterium anwenden ´ um sicherzustellen ` dass es tatsächlich ein Sattelpunkt ist. Wenn du eine waagerechte Tangente am Punkt hast, hast du den Sattelpunkt gefunden - den verborgenen Schatz der Funktion.
Insgesamt ist es also eine spannende Detektivarbeit um den Sattelpunkt zu entdecken. Mit diesen cleveren mathematischen Schritten und einer Prise Abenteuerlust kannst du erfolgreich den Sattelpunkt an einer bestimmten Stelle nachweisen. Also, worauf wartest du noch? Auf zur Jagd nach dem Sattelpunkt!
Die Jagd nach dem Sattelpunkt
Wie weist man rechnerisch nach, dass der Graph einer Funktion an der Stelle x=4 einen Sattelpunkt besitzt?