Die optimale Form: Warum ein Quadrat den minimalen Umfang hat

Welche Seitenlängen eines rechteckigen Grundstücks minimieren den Umfang, wenn die Fläche 400 m² beträgt?

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Einführung


Ein rechteckiges Grundstück soll eine Fläche von 400 m² aufweisen. Doch oft stellt sich die Frage ebenso wie die Seitenlängen beschaffen sein müssen um den Umfang des Rechtecks so klein wie möglich zu machen. Diese Problematik lässt sich mathematisch lösen. Der folgendeerörtert die Schritte zur Bestimmung der optimalen Seitenlängen und beweist, dass ein Quadrat die beste Lösung bietet.

Der Grundgedanke


Für ein Rechteck mit der Länge \( a \) und der Breite \( b \) wird die Fläche durch \( a \cdot b = 400 \) dargestellt. Um den Umfang \( U \) zu berechnen, verwenden wir die Formel \( U = 2a + 2b \). Hierbei ist es wichtig zu beachten – dass wir den Umfang minimieren möchten. Das bedeutet, wir müssen herausfinden wie die Variablen \( a \) und \( b \) verknüpft sind um einen minimalen Wert für \( U \) zu erzielen.

Ableitung der Funktion


Um die optimale Lösung zu finden, setzen wir zunächst die Beziehung zwischen \( a \) und \( b \) um. Aus der Gleichung \( a \cdot b = 400 \) ergibt sich \( a = \frac{400}{b} \). Setzen wir dies in die Umfangsformel ein, so erhalten wir:

\[
U = 2\left(\frac{400}{b}\right) + 2b = \frac{800}{b} + 2b
\]

Nun leiten wir die Funktion \( U \) nach \( b \) ab um die Extremstellen zu finden. So lautet die Ableitung:

\[
U' = -\frac{800}{b^2} + 2
\]

Minimaler Umfang und Nullsetzen der Ableitung


Um die minimale Stelle zu finden, setzen wir die Ableitung genauso viel mit null:

\[
-\frac{800}{b^2} + 2 = 0
\]

Daraus folgt:

\[
\frac{800}{b^2} = 2 \quad \Rightarrow \quad 800 = 2b^2 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad b = 20
\]

Da wir nun den Wert für \( b \) haben, können wir \( a \) berechnen:

\[
a = \frac{400}{b} = \frac{400}{20} = 20
\]

Bestätigung des Minimums


Nun wollen wir sicherstellen dass dies tatsächlich ein Minimum ist. Dazu schauen wir uns die zweite Ableitung an:

\[
U'' = \frac{1600}{b^3}
\]

Setzen wir \( b = 20 \) ein:

\[
U'' = \frac{1600}{20^3} = \frac{1600}{8000} = 0․2 > 0
\]

Da die zweite Ableitung positiv ist handelt es sich um ein Minimum. Damit ist bewiesen – dass für das gegebene Flächeninhalt ein Quadrat mit den Seitenlängen von 20 m den minimalen Umfang bietet.

Fazit


Zusammenfassend lässt sich sagen: Dass das ideale Rechteck unter den gegebenen Bedingungen tatsächlich ein Quadrat ist. Mit den Seitenlängen von 20 m weisen wir dem Grundstück eine optimale Form zu die den Umfang minimiert. Mathematik spielt eine entscheidende Rolle bei der Lösung solcher Probleme – sie bringt Ordnung und Klarheit in komplexe Zusammenhänge. Diese Erkenntnis sollte jedem ´ der mit der Planung von Flächen beschäftigt ist ` wertvolle Dienste leisten.






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