In der Welt der Mathematik gibt es zahlreiche Konzepte die oft als herausfordernd wahrgenommen werden. Eines dieser Konzepte ist die Berührtangente. Sie beschreibt die Beziehung zwischen zwei Funktionenkurven. In diesem Fall seien \( f \) und \( g \) gegeben durch \( f = ax^2 + b \) und \( g = \frac{1}{x} \). Insbesondere ist unsere Fragestellung, ebenso wie wir \( a \) und \( b \) wählen müssen, zu diesem Zweck die beiden Graphen an der Stelle \( x = 1 \) einen Berührungspunkt haben.
Zunächst ein grundlegendes Verständnis: Eine Berührtangente ist die Tangente die den Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt berührt, ohne ihn zu schneiden. Um dies zu erreichen – müssen sowie die Funktionswerte als ebenfalls die Ableitungen an diesem Punkt genauso viel mit sein. Das ist die grundlegende Bedingung die wir nutzen müssen.
Zuerst bestimmen wir die Ableitungen der beiden Funktionen. Für die Funktion \( f \) ergibt sich die Ableitung zu:
\[ f' = 2ax \]
Die Ableitung von \( g \) lautet:
\[ g' = -\frac{1}{x^2} \]
Jetzt setzen wir die Bedingung an den Berührungspunkt. Bei \( x = 1 \) gilt:
\[ f'(1) = g'(1) \]
Daraus folgt die Gleichung:
\[ 2a = -\frac{1}{1^2} \]
Daraus resultiert:
\[ 2a = -1 \]
Somit erhalten wir:
\[ a = -\frac{1}{2} \]
Nun, da wir \( a \) haben, müssen wir den Funktionswert sicherstellen. Wir setzen \( x = 1 \) in die Gleichungen \( f \) und \( g \) gleich:
\[ f(1) = g(1) \]
Das führt zu:
\[ -\frac{1}{2} \cdot 1^2 + b = \frac{1}{1} \]
Das vereinfacht sich zu:
\[ -\frac{1}{2} + b = 1 \]
Also wird deutlich, dass:
\[ b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
Jetzt wissen wir, dass \( a = -\frac{1}{2} \) und \( b = \frac{3}{2} \). Damit lautet die Funktion \( f \):
\[ f = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2} \]
Um die Gleichung der Berührtangente zu finden, nutzen wir das Format \( h = mx + b \), obwohl dabei \( m \) die Steigung ist. Hier ist also die Steigung an \( x = 1 \):
\[ m = f'(1) = -1 \]
Somit ergibt die Tangentengleichung an diesem Punkt:
\[ h = -x + b \]
Um \( b \) zu berechnen, setzen wir den Berührpunkt \( (1, 1) \) ein:
\[ 1 = -1 + b \]
Es folgt:
\[ b = 2 \]
Daraus ergibt sich die Gleichung der Berührtangente:
\[ h = -x + 2 \]
Zusammenfassend können wir festhalten, dass die Parameter \( a \) und \( b \) so gewählt werden, dass \( a = -\frac{1}{2} \) und \( b = \frac{3}{2} \) sind. Die Gleichung der Berührtangente, die welche Kurven bei \( x = 1 \) verbindet, ergibt sich zu:
\[ h = -x + 2 \]
Mathematik ist sowohl faszinierend als auch herausfordernd jedoch sie bietet uns Werkzeuge um die Verbindungen zwischen verschiedenen Funktionen zu verstehen. Ist das nicht eine interessante Entdeckung? Bei weiteren Fragen stehe ich gerne zur Verfügung!
Die Berührtangente von Parabel und Hyperbel: Eine mathematische Exploration
Wie müssen die Parameter a und b gewählt werden, damit die Funktion \( f = ax^2 + b \) die Funktion \( g = \frac{1}{x} \) bei \( x = 1 \) berührt und welche Gleichung beschreibt die Berührtangente?