Die Chi-Quadrat-Verteilung spielt eine zentrale Rolle in der Statistik. Sie ist wichtig bei der Analyse von Häufigkeiten in verschiedenen Kategorien. Diese Verteilung unterstützt Forscher signifikante Abweichungen zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten zu erkennen. Deutlich wird dies an einem Beispiel, das 120 Münzwürfe betrachtet. Statistisch gesehen sollten die Münzen bei gleichmäßiger Verteilung 60 Mal Kopf und 60 Mal Zahl zeigen. In der Praxis ergab sich ein Ergebnis von 65 Mal Kopf und 55 Mal Zahl.
Hierbei stellt sich die entscheidende Frage—stimmt das Ergebnis mit unseren Erwartungen überein? Der Chi-Quadrat-Test dient der Beantwortung dieser Frage. Der Chi-Quadrat-Wert wird ermittelt, indem die quadrierten Differenzen zwischen den beobachteten und erwarteten Häufigkeiten für jede Kategorie summiert werden. Im genannten Beispiel resultiert so ein Chi-Quadrat-Wert von 0⸴84.
Ein weiterer wichtiger Punkt—die y-Achse der Grafik der Chi-Quadrat-Verteilung zeigt die Wahrscheinlichkeit an. Wenn der y-Wert hoch ist ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gering. Das unter der Verteilungskurve liegende Areal gibt an ´ ebenso wie wahrscheinlich es ist ` dass das beobachtete Ergebnis rein zufällig zustande kam.
Kritischer Wert und Signifikanzniveau
Der kritische Wert ist entscheidend bei der Hypothesenprüfung. Er wird festgelegt um zu beurteilen, ob die Nullhypothese in diesem Beispiel die Annahme dass die Häufigkeiten unseren Erwartungen entsprechen, abgelehnt werden kann. Ein Signifikanzniveau muss zuvor gewählt werden. In diesem Beispiel wurde ein Level von 5% gewählt was einem p-Wert von 0⸴05 entspricht. Der kritische Chi-Quadrat-Wert für ein Signifikanzniveau von 0⸴05 und einem Freiheitsgrad von 1 liegt bei 3⸴841.
Um den tatsächlichen p-Wert zu finden, muss man die Fläche unter der Verteilungskurve rechts des empirischen Chi-Quadrat-Werts messen. In diesem Beispiel—der empirische Wert von 0⸴84 liegt deutlich unter dem kritischen Wert von 3⸴841. Daher kann die Nullhypothese nicht verworfen werden.
Fazit und Anmerkungen zur Nullhypothese
Es ist wesentlich zu verstehen—die Nullhypothese wird nicht angenommen, allerdings nur nicht verworfen. Besonders bei kleinen Stichproben ist dies von Bedeutung. Eine Annahme kann zu falschen Interpretationen führen. Die Chi-Quadrat-Verteilung wird eingesetzt um signifikante Abweichungen von den erwarteten Häufigkeiten zu analysieren.
Zusammenfassend wird also deutlich—die Chi-Quadrat-Verteilung und der Chi-Quadrat-Test sind essenzielle Werkzeuge in der statistischen Analyse. Um festzustellen, ob beobachtete Häufigkeiten signifikant von den erwarteten Häufigkeiten abweichen ist die genaue Interpretation des p-Wertes von großer Bedeutung. Auch der kritische Wert muss im Blick behalten werden um fundierte Entscheidungen zu treffen.