Die vorliegende Aufgabe ist nicht nur eine Herausforderung, allerdings ebenfalls ein gutes Beispiel für die Anwendung von Mathematik in realen Szenarien. Ein Schulfest – irgendwie spannend, oder?— wird in einer bestimmten Zeitspanne durch eine mathematische Funktion beschrieben. Diese Funktion ist gegeben als \( f(t) = -t^3 + 24t^2 - 117t + 182 \). Hierbei steht \( t \) für die Zeit in Stunden ab 7:30 Uhr. Lassen Sie uns nun die einzelnen Aspekte dieser Aufgabe näher betrachten—der 🔑 liegt in der Berechnung der Extrempunkte und Wendepunkte.
Zunächst geht es um die Frage wann vermutlich die meisten Besucher erwartet werden also das Maximum der Funktion. Um diesen Punkt zu finden, müssen wir die Ableitung der Funktion \( f(t) \) bilden—dieser Schritt ist entscheidend. Die ersten Ableitung lautet \( f'(t) = -3t^2 + 48t - 117 \). Jetzt setzen wir die Ableitung genauso viel mit null um die kritischen Punkte zu finden. Trifft die Ableitung dort den Nullpunkt sprechen wir von Extrema.
Jetzt klopfen wir die Lösungen aus der ersten Ableitung ab und schauen uns \( f'(t) = 0 \) an. Dies führt uns zur quadratischen Gleichung. Wahrscheinlich haben Sie bereits - manchmal neigt man dazu die Rechnung etwas zu übersehen— die Seiten zu vermischen. Die Lösung lässt sich mit der Mitternachtsformel ermitteln wo die zeitlichen Punkte t an die Werte 3 und \( \frac{13}{6} \) herangekommen sind.
Aber halten Sie mal an! In diesem Kontext—bei der Analyse—sollten am Ende auch die Randextrema ermittelt werden: Die Zeitpunkte 7⸴5 ⌚ und 16⸴5 ⏰ sind entscheidend. Diese Randwerte sind wesentlich für die Endbetrachtung. Womöglich ist hier der Schlüssel zu Ihrer Irritation: Wenn Sie sagen, dass 7⸴5 und 16⸴5 auch als kritische Punkte betrachtet werden müssen, haben Sie wahrscheinlich den Definitionsbereich nicht vollständig im Blickfeld gehabt.
Doch wie ebendies funktioniert es mit der spedierten Zunahme der Zuhörer? Das Maximum der Wachstumsrate lässt sich ähnlich wie finden, indem wir die zweite Ableitung \( f''(t) = -6t + 48 \) berechnen. Setzen Sie die Ableitung gleich null um die Zunahme zu bestimmen. An dieser Stelle ist die Bestimmung weiterer Nullpunkte unabdingbar—vielleicht finden Sie hier den kritischen Punkt bei \( t = 8 \).
Zusammengefasst—sollten Sie vielleicht auch einmal einen Blick auf die Youtube-Kanäle wie „Simple Maths“ werfen. Dort erklären sie die Themen anschaulich. Unterm Strich bleibt festzuhalten: Bei der Berechnung von Wiederholungen und Extremwerten ist es unerlässlich, stets auch den Rahmen des Definitionsbereichs zu beachten.
Die Mathematik—so komplex sie auch scheinen mag—ist ein faszinierendes 🔧 zur Lösung praktischer Probleme in unserem Alltag. Vielleicht wird die Klausur eine Chance—Ihre Neugier wird belohnt.
Die Berechnung von Wendestellen und Extrema – Eine Anleitung zur Analyse von Besucherverläufen
Wie bestimmt man die Wendepunkte und Extrema einer Funktion zur Vorhersage von Besucherzahlen?