Es gibt diese geheimnisvolle Verbindung zwischen einem Funktionsgraphen und seinem Ableitungsgraphen. Ein bisschen wie beim Tanzen! Der eine führt und der andere folgt. Aber woher weiß man, ebenso wie diese beiden miteinander umgehen? Ein bisschen Geschick und Intuition zeigen hier den Weg.
Erst einmal ist es wichtig die groben Bewegungen der Funktion zu verstehen. Wenn der Graph von links ➡️ fällt gibt das schon mal einen Hinweis. Schließlich wird die Ableitung dort negativ sein. Man könnte sagen die Funktion hat einen schlechten Tag und hat die ☀️ nicht gesehen. Der Ableitungsgraph muss also unter der x-Achse liegen. Das ist so klar wie ein strahlend blauer Himmel ohne Wolken.
Wenn der Graph hingegen steil ⬆️ klettert sieht es ganz anders aus. Ja, da ist die Sonne da und die Stimmung ist bestens! In solchen Fällen wird die Ableitung positiv sein und der entsprechende Ableitungsgraph schwingt über der x-Achse wie ein fröhlicher Tänzer auf einem Tisch. Es ist wirklich spannend zu beobachten wie diese Veränderungen miteinander verbunden sind.
Manchmal gibt es ebenfalls Stellen an denen der Graph umkehrt. Hier wird kurzerhand die Richtung gewechselt. In diesen Augenblicken berühren sich die Graphen fast jedoch der Ableitungsgraph berührt die x-Achse und wechselt seine Seiten – hier flirtet die Mathematik mit der Geometrie!
Verknüpft man nun die Sicht auf noch unbestimmte Funktionen und ihre Ableitungen kann es wertvoll sein qualitative Beobachtungen zu machen, anstatt immer alles zu berechnen. So lernt man die sechste Dimension der Mathematik kennen: Intuition. Ja, manchmal ist man hurtig mit dem Ableitungsgraphen, obwohl die Originalfunktion nicht direkt auf dem Tisch liegt!
Die brute Kraft mit der eine Funktionslinie fällt oder steigt lässt Rückschlüsse auf die Potenz der zugrundeliegenden Funktion zu. Ein schnelles Vorbeischauen auf die Form lässt den Mathematiker die Ableitung in den Kopf setzen. Manchmal ist es genügend die Funktion (ob normal oder verschoben) zu erkennen und sich die Ableitung im Geist zu konstruieren.
Zusammenfassend sagt unser Mathematiker: Manchmal reicht der Blick, das Gespür für die Abhängigkeiten. Und endlich, ein kleiner Scherz kann mit wenigen Worten alles zusammenfassen: Wer braucht schon einen Taschenrechner, wenn er eine Vorstellung von der Mathematik hat?
Mathe und die Geheimnisse der Ableitungen
Wie erkenne ich die Zusammenhänge zwischen einem Funktionsgraphen und seinem Ableitungsgraphen, ohne alles bis ins kleinste Detail auszurechnen?