Na ja, schau mal wenn Zähler und Nenner nicht teilerfremd wären könnte man den Bruch ja immer weiter kürzen, bis sie es sind. Aus diesem Grund muss man von Anfang an die Teilerfremdheit voraussetzen um den Beweis: Dass die Wurzel 2 irrational ist überhaupt verursachen können. Wenn man annimmt, dass die Wurzel aus zwei eine rationale Zahl ist jedoch Zähler und Nenner nicht teilerfremd wären, würde das zu einem Widerspruch führen. Denn in einem gekürzten Bruch wären Zähler und Nenner immer teilerfremd.
Darum stellt man die Teilerfremdheit genauso viel mit zu Beginn als Bedingung auf um diesen Widerspruch zu vermeiden und den Beweis schlüssig durchführen zu können. Denn wenn Zähler und Nenner nicht teilerfremd wären könnte man einfach den Bruch kürzen und würde am Ende wieder bei einem Bruch mit Teilerfremdheit landen was den Beweisprozess nicht wasserdicht machen würde. Deshalb ist die Teilerfremdheit eine wichtige Voraussetzung um die Irrationalität der Wurzel 2 zu beweisen. Es ist gewissermaßen eine "erzwungene" Teilerfremdheit um die Logik des Beweises aufrechtzuerhalten.
Die Bedeutung der Teilerfremdheit in der Irrationalitätsbeweis von Wurzel 2
Warum müssen Zähler und Nenner teilerfremd sein, bei dem Beweis dass Wurzel 2 irrational ist?