Die Integralrechnung kann manchmal für Verwirrung sorgen – besonders wenn es um die Reihenfolge der Grenzen geht. Man könnte meinen, dass das Integral immer positiv ist, wenn die obere Grenze größer als die untere ist. Aber Vorsicht, das ist nicht immer der Fall! Es kommt ganz darauf an – ebenso wie sich die Funktion im Integrationsintervall verhält.
Wenn die Funktion komplett negativ ist dann ist ebenfalls das Integral negativ. Sind alle Funktionswerte positiv – so ist das Integral positiv. Schwierig wird es; wenn die Funktion im Integrationsintervall Nullstellen hat. Denn in Teilintervallen ´ in denen die Funktion negativ ist ` heben sich die negativen Integralwerte mit den positiven Integralwerten in anderen Teilintervallen auf.
Ein weiteres Problem tritt auf wenn man die Fläche zwischen zwei Graphen berechnen möchte und die Funktionen sich mehrfach schneiden. Hier ist absolute Vorsicht geboten – da die Vorzeichen der Integrale sich gegenseitig beeinflussen können.
Und noch etwas: Das Austauschen der oberen und unteren Integrationsgrenzen ändert nur das Vorzeichen des Integrals. Es ist also ratsam ´ die untere Grenze kleiner als die obere zu setzen ` um mögliche Vorzeichenfehler zu vermeiden.
Kurz gesagt, das Vorzeichen des Integrals gibt Auskunft darüber, ob sich weiterhin Fläche über oder unter der x-Achse befindet. Es ist also nicht immer der Fall: Das Integral positiv ist, wenn die obere Grenze größer als die untere ist. Man sollte immer die Funktion im Integrationsintervall ebendies betrachten um keine bösen Überraschungen zu erleben.
Die Tücken der Integralrechnung: Verwirrung um die Grenzen
Warum ist es nicht immer der Fall, dass das Integral positiv ist, wenn die obere Grenze größer als die untere ist?