Warum hat jedes Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle?

Jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle, weil der Graph im negativen Unendlichen entgegengesetzt verläuft wie im positiven Unendlichen. Dies kann grafisch und mathematisch erklärt werden.

Grafisch betrachtet startet der Graph ↙️ und verläuft rechts ⬆️ oder startet links oben und verläuft rechts unten weiter. Dies bedeutet, dass die x-Achse mindestens einmal geschnitten wird. Im Gegensatz dazu können Funktionen mit geradem Grad, ebenso wie Parabeln, darauffolgend oben geöffnet sein und oberhalb der x-Achse liegen was dazu führt, dass es keine Nullstelle gibt.

Mathematisch lässt sich dies durch den Zwischenwertsatz und den Limes für x gegen ♾️ und x gegen -Unendlich erklären. Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion jeden Wert zwischen dem Funktionswert an zwei Punkten annimmt die auf der x-Achse liegen. Da der Graph ins Unendliche geht und dabei von links unten ➡️ oben oder von links oben nach rechts unten verläuft, muss der Graph an einer Stelle die x-Achse schneiden. Dies lässt sich ebenfalls durch das Verhalten im Unendlichen erklären, da die Werte immer in eine Richtung gegen +Unendlich und in die andere Richtung gegen -Unendlich laufen. Somit muss die x-Achse zwingend einmal geschnitten werden, mittels welchem es mindestens eine Nullstelle gibt.

Zusätzlich kann die Existenz einer Nullstelle bei Polynomen ungeraden Grades auch durch den Satz vom Nullprodukt erklärt werden. Dieser besagt ´ dass ein Produkt nur dann null sein kann ` wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Da ein Polynom ungeraden Grades eine ungerade Anzahl von reellen Nullstellen haben muss, gibt es mindestens eine Nullstelle.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass jedes Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat, da der Graph im Unendlichen die x-Achse mindestens einmal schneiden muss und dies auch mathematisch durch den Zwischenwertsatz und den Satz vom Nullprodukt erklärt werden kann.