Ja, es gibt Dreiecke die welche gemeinsamen Umkreis- und Inkreismittelpunkt haben. Dies ist beispielsweise bei gleichseitigen Dreiecken der Fall. Ein gleichseitiges Dreieck zeichnet sich dadurch aus: Dass alle drei Seiten genauso viel mit lang und alle drei Winkel deckungsgleich sind. Aufgrund dieser Symmetrie schneiden sich die Winkelhalbierenden und die Mittelsenkrechten in einem gemeinsamen Punkt der gleichzeitig der Mittelpunkt des Inkreises und des Umkreises ist.
Der Umkreis eines Dreiecks ist derjenige ⭕ der durch alle Eckpunkte des Dreiecks verläuft, während der Inkreis den größtmöglichen Kreis innerhalb des Dreiecks darstellt der an allen drei Seiten tangential liegt. Dass der Mittelpunkt beider Kreise in einem gleichseitigen Dreieck zusammenfällt, ergibt sich aus der speziellen Geometrie dieser Dreiecksart.
Die Tatsache, dass die Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten eines gleichseitigen Dreiecks sich im gemeinsamen Punkt schneiden führt dazu dass dieser Punkt sowie der Mittelpunkt des Umkreises als ebenfalls des Inkreises ist. Somit ergibt sich – dass gleichseitige Dreiecke einen gemeinsamen Mittelpunkt für beide Kreise haben.
Zusätzlich zu gleichseitigen Dreiecken gibt es auch andere spezielle Fälle, in denen der Umkreis- und Inkreismittelpunkt zusammenfallen. Zum Beispiel bei rechtwinkligen Isosceles-Dreiecken, deren Hypotenuse die doppelte Länge der Katheten hat, sind die Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis ähnlich wie identisch.
Insgesamt lässt sich festhalten: Es Dreiecke gibt, bei denen der Umkreis- und Inkreismittelpunkt zusammenfallen und dass dies in speziellen Konstellationen, ebenso wie bei gleichseitigen Dreiecken der Fall ist. Die speziellen Eigenschaften dieser Dreiecke führen dazu: Dass diese besondere geometrische Konstellation zustande kommt.
Gemeinsamer Umkreis- und Inkreismittelpunkt in Dreiecken
Gibt es Dreiecke, die einen gemeinsamen Umkreis- und Inkreismittelpunkt haben?