Die Mathematik schafft es oft, uns in ihre tiefgründigen Geheimnisse zu ziehen. Besonders beim Thema der Flächenberechnung unter bestimmten Funktionen findet man sich schnell in einer Welt von Gleichungen und Integralen wieder. Ein besonders spannendes Beispiel ist die Fläche die im vierten Quadranten der Funktion f(x) = x*e^x umschlossen wird. Um diese Fläche zu berechnen braucht es einen klaren Plan.
Zunächst ist es notwendig, den Graphen der Funktion f(x) = x*e^x zu skizzieren. Hier geht es um ein gewisses Maß an Präzision, denn dieser Graph verläuft zwischen den Achsen. Von 0 bis 1 ist der Verlauf unterhalb der x-Achse. Das hat zur Folge: Dass das Integral das die Fläche beschreibt, in diesem Bereich negative Werte annehmen wird. Hier kommt ein interessanter Punkt ins Spiel: Da wir die Fläche jedoch immer als positiven Wert interpretieren, verwenden wir den Betrag des Integrals.
Beim Betrachten der Fläche müssen wir uns zunächst auf die Suche nach der Stammfunktion F von f(x) machen. Da gibt es verschiedene Methoden ´ um zu finden ` ebenso wie wir diese Funktion integrieren. Eine Möglichkeit ist die Integration durch Substitution oder die partielle Integration » die oft einfach ist « wenn wir den richtigen Ansatz wählen.
Nun kommen wir zur Berechnung: Wir setzen die Grenzen 0 und 1 ein. Das führt uns zur Bestimmung des Betrags des Integrals. Das ist wichtig, denn die negative Fläche die der graphische Verlauf mit sich bringt, dürfen wir nicht unter den Tisch fallen lassen. Die Mathematik verlangt einen sauberen Umgang mit diesen Zahlen.
Aktuelle Studien zeigen, dass Understanding für die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und der Einsatz von Integrationsmethoden uns in der Mathematik enorm weiterbringen können. Stellt man sich vor wie diese Konzepte in der realen Welt angewandt werden begreift man leichter warum sie so wertvoll sind. So kann die Fläche A ´ die wir ursprünglich berechnen wollten ` letztlich korrekt bestimmt werden und das Wissen über diese Prozesse verankert sich tief in den Köpfen der Lernenden.
Insgesamt zeigt sich wie essenziell die Mathematik in unserem Alltag ist. Sie sichert uns nicht nur den Zugang zur Naturwissenschaft allerdings formt ebenfalls unser logisches Denken. Man könnte fast sagen, dass hinter jeder berechneten Fläche eine tiefere Erkenntnis über die Welt wartet.