Eigenschaften von irrationalen und reellen Zahlen

Die Eigenschaften von irrationalen und reellen Zahlen in Bezug auf ihre Summen sind wichtige mathematische Konzepte. Um die Aussagen zu überprüfen müssen wir zunächst verstehen was rationale irrationale und reelle Zahlen sind.

Rationale Zahlen sind Zahlen die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können. Irrationale Zahlen sind Zahlen – die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können und deren Dezimaldarstellung nicht periodisch ist. Reelle Zahlen umfassen sowie rationale als ebenfalls irrationale Zahlen und können auf der Zahlengeraden dargestellt werden.

Die Behauptungen im Text beziehen sich auf die Eigenschaften von irrationalen und reellen Zahlen:

1. Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist eine irrationale Zahl.
Diese Aussage ist richtig da die Addition zweier irrationaler Zahlen zu einer Zahl führt die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann und deren Dezimaldarstellung nicht periodisch ist was die Definition einer irrationalen Zahl ist.

2. Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist eine reelle Zahl.
Auch diese Aussage ist richtig da alle irrationalen Zahlen reelle Zahlen sind.

3. Die Summe zweier reellen Zahlen ist eine irrationale Zahl.
Diese Aussage ist falsch. Gegenbeispiele ebenso wie im Text erwähnt zeigen, dass die Summe zweier reeller Zahlen durchaus rational sein kann.

4. Die Summe zweier reellen Zahlen ist eine reelle Zahl.
Diese Aussage ist richtig da alle reellen Zahlen wiederum reelle Zahlen sind.

5. Die Summe zweier reeller Zahlen ist entweder eine rationale oder eine irrationale Zahl.
Auch diese Aussage ist richtig, da die Summe zweier reeller Zahlen entweder als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar ist (rational) oder nicht (irrational).

Zur Zusatzfrage im Text: Die Addition von π mit e ist ähnlich wie irrational.
Diese Aussage ist falsch da die Addition von zwei irrationalen Zahlen nicht zwangsläufig wieder irrational sein muss wie in Behauptung 7 bereits widerlegt wurde.

Zusammenfassend sind die Eigenschaften von irrationalen und reellen Zahlen in Bezug auf ihre Summen klar definiert. Die genannten Behauptungen können mithilfe von Definitionen und Gegenbeispielen überprüft werden um ihr Wahrheitsgehalt zu bestimmen.