Nicht jede Teilmenge der reellen Zahlen ist überabzählbar, da es ebenfalls abzählbare Teilmenge gibt. Die Überabzählbarkeit einer Teilmenge hängt davon ab, ob sie ein Intervall beinhaltet oder nicht. Wenn eine Teilmenge ein offenes Intervall enthält dann ist sie überabzählbar da es für jedes offene Intervall eine bijektive Funktion gibt die das Intervall auf die Menge der reellen Zahlen abbildet. Beispiele für solche Teilmenge sind die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen.
Allerdings gibt es auch Teilmenge die kein Intervall sind und deshalb abzählbar sein können. Ein Beispiel ist die Menge {1,2,3} welche definitiv nicht überabzählbar ist. Die natürlichen Zahlen sind ähnlich wie eine abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen, da sie in geordneter Weise auf den Zahlenstrahl platziert werden können. Es existiert jedoch keine abzählbare zusammenhängende Teilmenge der reellen Zahlen.
Die Überabzählbarkeit einer Teilmenge hängt also davon ab, ob sie ein Intervall enthält oder nicht. Wenn eine Teilmenge kein Intervall ist kann sie abzählbar sein. Intervalle können jedoch nicht abzählbar sein, da sie unendlich viele Elemente enthalten. Daher ergibt sich – dass nicht jede Teilmenge der reellen Zahlen überabzählbar ist.
Überabzählbarkeit von Teilmenge der reellen Zahlen
Warum ist nicht jede Teilmenge der reellen Zahlen überabzählbar?