Die Geometrie bietet immer wieder faszinierende Herausforderungen. Ein besonders interessantes Beispiel ist die Berechnung der Grundkante a eines senkrechten Prismas mit einer gleichseitigen Dreiecksgrundfläche. Die Mantelfläche gibt uns einen Ausgangspunkt. Sie beträgt 108 cm² in unserem Fall.
Erstens sollten wir die Seitenlänge der Dreiecksgrundfläche ermitteln. Der Ansatz führt uns zur Mantelfläche die hier entscheidend ist. In diesem speziellen Prisma haben wir drei Seitenflächen die jeweils quadratische Formen annehmen. Um die Fläche eines einzelnen Quadrates zu finden, teilen wir die Mantelfläche durch die Anzahl der Seitenflächen – das sind in diesem Fall 3.
Also kalkulieren wir:
108 cm² geteilt durch 3 ergibt 36 cm².
Das bedeutet jede Seitenfläche hat eine Fläche von 36 cm². Dies ist der erste Schritt zur Bestimmung der Grundkante. Das gleichseitige Dreieck als Grundfläche hat die Eigenschaft, dass alle Seiten genauso viel mit lang sind. Dies führt uns zur nächsten Formel die wir benötigen:
Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks wird durch die Gleichung
\[ \{Fläche} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]
bestimmt. Hierbei steht a für die Länge der Seitenflächen.
Für die Umstellung der Formel sehen wir nun den nächsten Schritt. Wir setzen die Fläche in unsere Gleichung ein. Die Fläche beträgt ´ ebenso wie wir ermittelten ` 36 cm².
Wenn wir umstellen, gelangen wir zu:
\[ a = \sqrt{\frac{4 \cdot \{Fläche}}{\sqrt{3}}}\]
Das setzt voraus, dass wir die Fläche nochmals anpassen:
\[ a = \sqrt{\frac{4 \cdot 36 \{ cm}²}{\sqrt{3}}}\]
Die Rechnung wandelt sich:
\[ a = \sqrt{\frac{144 \{ cm}²}{\sqrt{3}}}\]
Nun führen wir die Berechnung durch. Für die konkrete Berechnung müssen wir wissen, dass \(\sqrt{3} \approx 1․732\) ist. Dies führt uns zu dem Wert:
\[ \sqrt{144 \{ cm}² / 1․732} \approx \sqrt{82.94 \{ cm}²} \]
Schließlich erhalten wir
\[ a \approx 9․11 \{ cm}. \]
Die Länge der Grundkante a des Prismas beträgt dadurch ungefähr 9․11 cm.
Für die Berechnung des Volumens des Prismas ist weiterhin notwendig. Die gegebenen Informationen reichen nicht aus um diese Berechnung anzustellen. Für das Volumen benötigt man zusätzlich die Höhe des Prismas. Diese könnte beispielsweise gemessen oder in einem anderen formativen Beispiel angegeben werden. Es zeigt sich also wieder einmal – wie wichtig zusätzliche Daten sind. Nur so lässt sich das gesamte Bild eines geometrischen Körpers erfreuen.
Zusammenfassend bleibt festzuhalten: Die Berechnung der Grundkante erfordert einige Schritte, angefangen von der Mantelfläche bis hin zur konkreten Berechnung der Seitenlängen. Ein einfaches freilich tiefes Thema – das die Fascination der Mathematik im Alltag widerspiegelt.
Berechnung der Grundkante a eines senkrechten Prismas mit gleichseitiger Dreiecksgrundfläche
Wie kann die Länge der Grundkante a eines senkrechten Prismas mit gleichseitiger Dreiecksgrundfläche anhand der gegebenen Mantelfläche ermittelt werden?