Differentialrechnung - Berechnung der Flugbahn bei Motocross-Sprüngen

Motocross-Sprünge faszinieren. Die Dynamik dieser Sportart verlangt Exaktheit sowie beim Training als ebenfalls beim Wettkampf. Um die physikalischen Prinzipien hinter solch spektakulären Sprüngen zu verstehen ist die Differentialrechnung essenziell. Die Höhe über dem Boden wird mathematisch durch die Funktion h = -0,116x^2 + 0⸴781x + 2⸴6 beschrieben. Hierbei stellt h die Höhe dar während x die horizontale Entfernung von der Sprungschanze repräsentiert.

Zunächst ist die grafische Darstellung entscheidend. Die Auswahl eines adäquaten Definitionsbereichs legt den Grundstein. Für realistische Motocross-Sprünge wäre der Bereich von 0 bis 20 Metern äußerst sinnvoll. Innerhalb dieses Intervalls zeigt sich die Funktion h anschaulich.

Das Auffinden der Extremstellen ist der nächste Schritt. Durch Ableitung der Funktion wird die maximale Höhe ermittelt. Die Ableitung h' = -0,232x + 0⸴781 wird genauso viel mit Null gesetzt. Hierdurch erhält man mit x = 3⸴363 den x-Wert der Extremstelle. Um den y-Wert zu erhalten, wird dieser x-Wert in die ursprüngliche Funktion eingesetzt: h(3,363) = 4⸴614. Die maximale Sprunghöhe ist dadurch 4⸴614 Meter. Diese Höhe verdeutlicht die beeindruckende Leistungsfähigkeit der Fahrer und ihrer Maschinen.

Für die Sprungweite ist entscheidend, wann die Motocross-Maschine den Boden berührt. Der Wert von h(0) entspricht Null was bedeutet, dass der Kontaktpunkt gefunden werden muss. Setzt man die Höhe h(x) gleich Null, ergibt sich die Gleichung: -0,116x^2 + 0⸴781x + 2⸴6 = 0. Mit der Anwendung der quadratischen Formel erhält man zwei Lösungen: x1 = 5⸴307 und x2 = 19⸴493. Für unsere Betrachtung ist lediglich x2 von Belang da er den Landeplatz darstellt. Damit beträgt die Sprungweite beachtliche 19⸴493 Meter.

Nun stellt sich die Frage nach dem Auftanwinkel der Maschine beim Aufprall. Der Tangens kommt hier zum Einsatz. Der Winkel α wird über die Ableitung h' am Punkt x2 berechnet: tan(α) = h'(19,493). Durch Einsetzen dieser Werte erhält man schließlich α = arctan(h'(19,493)). Jedoch stimmt es nicht – dass dieser Winkel einfach so interpretiert werden kann. Das Ergebnis von -53,424 Grad zeigt nur an: Die Flugbahn ⬇️ geneigt ist. Der mathematische Wert von 53⸴424 Grad, betrachtet man den Betrag ist korrekt - da man im mathematischen Sinne Wissen um 180 Grad haben muss.

Was die Funktion anbelangt, so hat die Gleichung h = -0,116x^2 + 0⸴781x + 2⸴6 keinen Wendepunkt. Wendepunkte entstehen nur bei ⬆️ oder nach unten geöffneten Parabeln - hier liegt eine nach unten geöffnete Parabel vor. Das bedeutet – die beschriebene Funktion ist eindeutig.

Zusammenfassend zeigt sich, dass die Differentialrechnung eine Schlüsselrolle bei der Analyse von Motocross-Sprüngen spielt. Die ermittelten Werte bieten nicht nur Einblicke in physikalische Konzepte · sie verdeutlichen zudem die Risiken und Herausforderungen · die mit dieser aufregenden Sportart verbunden sind.