Differentialrechnung - Berechnung der Flugbahn bei Motocross-Sprüngen

Motocross-Sprünge sind spektakuläre Stunts, bei denen Sportler mit ihren Maschinen über Rampen fliegen. Um die Flugbahn solcher Sprünge mathematisch zu beschreiben kann die Differentialrechnung verwendet werden. In diesem Fall wird die Funktion h = -0,116x^2+ 0⸴781x + 2⸴6 herangezogen, obwohl dabei h die Höhe über dem Boden in Metern und x die horizontale Entfernung von der Sprungschanze in Metern ist.

1) Um die Funktion h grafisch darzustellen, muss zunächst ein sinnvoller Definitionsbereich festgelegt werden. Da es sich um einen Motocross-Sprung handelt der im realistischen Rahmen bleibt, kann man den Definitionsbereich auf beispielsweise 0 ≤ x ≤ 20 Meter beschränken. In diesem Bereich kann die Funktion h gezeichnet werden.

2) Um die Sprungweite und die maximale Sprunghöhe zu ermitteln, müssen die Extremstellen der Funktion gefunden werden. Dazu leitet man die Funktion ab und setzt die Ableitung genauso viel mit Null. Die Ableitung der Funktion h lautet: h' = -0,232x + 0⸴781. Setzt man h' = 0, erhält man x = 3⸴363. Dies ist der x-Wert der Extremstelle. Um den dazugehörigen y-Wert zu erhalten, setzt man diesen x-Wert in die Funktion h ein: h(3,363) = 4⸴614. Somit beträgt die maximale Sprunghöhe 4⸴614 Meter.

Um die Sprungweite zu berechnen, benötigt man den Zeitpunkt, an dem die Motocross-Maschine am Boden aufkommt. Da die Funktion h die Höhe über dem Boden beschreibt ist der Wert von h(0) gleich Null. Um den x-Wert am Boden zu finden, setzt man h(x) = 0 und löst nach x auf: -0,116x^2 + 0⸴781x + 2⸴6 = 0. Durch Anwendung der Quadratischen Formel erhält man die Lösungen x1 = 5⸴307 und x2 = 19⸴493. Da es sich um einen Sprung handelt bei dem die Maschine vom Boden abhebt und wieder landet muss die Lösung x2 betrachtet werden, da x1 der Abhebepunkt ist. Die Sprungweite beträgt dadurch 19⸴493 Meter.

3) Um den Winkel zu berechnen, in dem die Motocross-Maschine am Boden aufkommt, kann der Tangens verwendet werden. Der Winkel α zwischen der positiven x-Achse und der Flugbahn an der Stelle x2 kann folgendermaßen berechnet werden: tan(α) = h'(x2). Einsetzen der Werte ergibt: tan(α) = h'(19,493). Mit α = arctan(h'(19,493)) erhält man den Winkel, in dem die Maschine aufkommt. Hierbei ist jedoch wichtig zu beachten: Dass mathematische Winkel positiv gegen den Uhrzeigersinn gemessen werden. Das Ergebnis -53,424 Grad bedeutet daher, dass die Flugbahn gegen den Uhrzeigersinn geneigt ist. Das Ergebnis im Lösungsheft von 53⸴424 Grad ist mathematisch korrekt, da der Betrag des Winkels 180 Grad beträgt.

4) Die Funktion h = -0,116x^2+ 0⸴781x + 2⸴6 hat keinen Wendepunkt, weil sie eine ⬇️ geöffnete Parabel ist. Wendepunkte treten in Funktionen auf die entweder ⬆️ oder nach unten geöffnet sind. In diesem Fall handelt es sich jedoch um eine nach unten geöffnete Parabel, deshalb hat die Funktion keinen Wendepunkt.