Bei der Berechnung der kürzesten Zeit für eine Strecke mit begrenzter Beschleunigung muss man die Hälfte der Strecke nehmen und mit 2 multiplizieren um das richtige Ergebnis zu erhalten.
Die kürzeste Zeit um eine Strecke zurückzulegen wird erreicht indem man die Hälfte der Strecke mit maximaler Beschleunigung fährt und dann die andere Hälfte der Strecke mit maximaler Verzögerung abbremst.
Um diese Fahrstrategie zu verstehen, betrachten wir den Fall, in dem die Strecke 2 km lang ist und die maximale Beschleunigung 20 m/s² beträgt. Zuerst berechnen wir die Zeit ´ die benötigt wird ` um die Hälfte der Strecke zu beschleunigen. Mit der Formel s = 1/2 a t^2 können wir die Zeit t berechnen:
t = √(2s / a) = √(2 * 1000 m / 20 m/s²) = √(100) = 10 s
Anschließend berechnen wir die maximale Geschwindigkeit vmax die während der Beschleunigung erreicht wird:
vmax = a t = 20 m/s² 10 s = 200 m/s = 720 km/h
Durchschnittlich beträgt die Geschwindigkeit also 100 m/s.
Nun unterscheiden sich die Vorgänge für die erste Hälfte der Strecke und die zweite Hälfte.
1) In der ersten Hälfte bremst man mit der maximalen Verzögerung von 20 m/s² um die Geschwindigkeit von 720 km/h auf 0 m/s zu reduzieren. Dafür benötigt man weitere 10 s.
2) In der zweiten Hälfte kann man wenn man nicht bremst allerdings weiter beschleunigt, eine viel höhere Durchschnittsgeschwindigkeit erreichen. Da die Zeit jedoch minimiert werden soll ´ ist es am besten ` mit maximaler Beschleunigung zu fahren. Dadurch erreicht man jedoch nach einem weiteren Kilometer vermutlich deutlich über 1000 km/h.
Die zweite Hälfte der Strecke wird also mit einer viel höheren Durchschnittsgeschwindigkeit gefahren und benötigt deshalb weniger als 10 s. Allerdings besteht das Risiko, dass man mit Überschallgeschwindigkeit über das Ziel hinausschießt und auf ein Hindernis trifft.
Daher ist es wichtig die Geschwindigkeit am Anfang und am Ende der Bewegung auf 0 zu bringen.
Um die kürzeste Zeit zu berechnen sollte man also die Hälfte der Strecke nehmen und mit 2 multiplizieren. In diesem Fall wäre das Ergebnis 20 s.
Die Berechnung basiert auf der Idee die Zeit zu minimieren indem man die Strecke so aufteilt: Dass sie mit maximaler Beschleunigung und Verzögerung zurückgelegt wird. Dies führt zu einer Fahrstrategie bei der die erste Hälfte der Strecke mit maximaler Beschleunigung gefahren wird und die zweite Hälfte mit maximaler Verzögerung abgebremst wird. Eine andere Aufteilung der Strecke würde zu einer längeren Zeit führen.
Berechnung der kürzesten Zeit für eine Strecke mit begrenzter Beschleunigung
Warum muss man bei der Berechnung der kürzesten Zeit für eine Strecke die Hälfte der Strecke nehmen und mit 2 multiplizieren?