Bestimmung einer Logarithmusfunktion aus zwei Punkten

Um eine Logarithmusfunktion aus zwei gegebenen Punkten zu bestimmen, können wir das allgemeine Format der Logarithmusfunktion verwenden: f = a * ln(x) + b.

In diesem Fall haben wir die Punkte P1(u1, v1) und P2(u2, v2). Um die Werte für a und b zu finden, setzen wir die Koordinaten der beiden Punkte in die allgemeine Formel ein und erhalten zwei Gleichungen:

Gleichung 1: v1 = a * ln(u1) + b
Gleichung 2: v2 = a * ln(u2) + b

Um a und b zu bestimmen können wir diese beiden Gleichungen verwenden und ein lineares Gleichungssystem erstellen.

In deinem spezifischen Fall hast du die Punkte P1(43000, 45000) und P2(110100, 43000). Setzen wir diese Werte in die Gleichungen ein:

Gleichung 1: 45000 = a * ln(43000) + b
Gleichung 2: 43000 = a * ln(110100) + b

Unser Ziel ist es a und b zu finden. Dazu können wir die beiden Gleichungen subtrahieren um eine Gleichung nur mit a zu erhalten:

(45000 - 43000) = a * (ln(43000) - ln(110100))

2000 = a * ln(43000/110100)

Um a zu isolieren, müssen wir die rechte Seite der Gleichung durch ln(43000/110100) teilen:

2000 / ln(43000/110100) = a

Nachdem wir den Wert von a gefunden haben können wir ihn in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen um b zu bestimmen. Nehmen wir Gleichung 1:

45000 = a * ln(43000) + b

Setzen wir den Wert von a (20984) ein:

45000 = 20984 * ln(43000) + b

Um b zu isolieren, subtrahieren wir 20984 * ln(43000) von beiden Seiten:

45000-20984 * ln(43000) = b

Damit haben wir sowie a als ebenfalls b gefunden:

a = 20984
b = 45000-20984 * ln(43000)

Die Logarithmusfunktion lautet also:

f = 20984 ln(x) + (45000 - 20984 ln(43000))

Jetzt kannst du diese Funktion verwenden um weitere Werte zu berechnen oder Diagramme zu erstellen. Beachte jedoch, dass Logarithmusfunktionen für negative x-Werte nicht definiert sind, deshalb sollten nur positive Werte verwendet werden.