Um die Irationalität der Wurzel aus 2^2023 zu beweisen, müssen wir das Produkt aus einer rationalen und irrationalen Zahl betrachten und zeigen, dass es immer irrational ist.
Die Begebenheit besagt: Das Produkt aus einer rationalen Zahl a und einer irrationalen Zahl b immer irrational ist, vorausgesetzt a ungleich 0 ist.
Angenommen, a ist rational, b ist irrational und das Produkt a * b = c ist rational. Daraus folgt, dass c/a rational sein muss. Dies steht jedoch im Widerspruch dazu: Dass b irrational ist.
Somit haben wir gezeigt, dass das Produkt aus einer rationalen und irrationalen Zahl immer irrational ist, sofern die rationale Zahl ungleich 0 ist.
Um nun die Irationalität der Wurzel aus 2^2023 zu beweisen nutzen wir den Hinweis aus der Aufgabe: Dass man den Exponenten durch 2 teilen kann, wenn man die Wurzel zieht.
Wir schreiben 2^2023 als 2 * 2^2022 und ziehen die Wurzel:
Wurzel aus 2^2023 = Wurzel aus (2 * 2^2022)
Da die Wurzel ein Teilen des Exponenten um den Faktor 2 ist, erhalten wir:
Wurzel aus 2^2023 = 2^1011 * Wurzel aus 2
Da die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist (sie ist irrational), haben wir gezeigt, dass die Wurzel aus 2^2023 irrational ist.
Zusammenfassend kann gesagt werden: Das Produkt aus einer rationalen und irrationalen Zahl immer irrational ist, sofern die rationale Zahl ungleich 0 ist. Mithilfe dieser Begebenheit haben wir bewiesen, dass die Wurzel aus 2^2023 irrational ist, indem wir den Exponenten durch 2 geteilt und die Irationalität der Wurzel aus 2 genutzt haben.
Die Irationalität der Wurzel aus 2^2023 beweisen
Wie kann man mithilfe der Begebenheit, dass das Produkt aus einer rationalen und irrationalen Zahl immer irrational ist, die Irationalität der Wurzel aus 2^2023 beweisen?