Um den Inhalt des beschriebenen Flächenstücks zu berechnen, müssen wir die Integrale ∫fdx und ∫gdx bestimmen, obwohl dabei f=2√x und g=2x^2-8x+8 sind.
Zuerst sollten wir die Schnittpunkte der beiden Funktionen f und g finden. Da f eine Wurzelfunktion ist, müssen wir die Gleichung f=0 lösen.
Setzen wir f=0, erhalten wir 0=2√x. Durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung können wir die Wurzel eliminieren und erhalten 0=4x.
Daraus folgt, dass x=0 eine Nullstelle von f ist.
Um die zweite Nullstelle zu finden können wir die Funktion g betrachten. Wir setzen g=0 und erhalten die quadratische Gleichung 0=2x^2-8x+8.
Wir können diese Gleichung entweder durch Faktorisierung oder durch Anwendung der quadratischen Formel lösen.
Da die Faktorisierung hier nicht klar ist, verwenden wir die quadratische Formel x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a).
Für die gegebene quadratische Gleichung erhalten wir
x=(-(-8)±√((-8)^2-4(2)(8)))/(2(2)) = (8±√(64-64))/4 = (8±0)/4.
Daraus folgt, dass x=2 eine weitere Nullstelle von g ist.
Nun haben wir die Nullstellen der Funktionen f und g gefunden, nämlich x=0 und x=2.
Um den Flächeninhalt des beschriebenen Flächenstücks zu berechnen, müssen wir nun die Integrale ∫fdx und ∫gdx berechnen.
Der Flächeninhalt kann dann durch die Summe dieser beiden Integrale bestimmt werden.
Für die erste Funktion f=2√x integrieren wir von x=0 bis x=k (wo k der Schnittpunkt von f und g ist).
∫fdx = ∫(2√x)dx = [4/3x^(3/2)] (von 0 bis k) = 4/3k^(3/2).
Für die zweite Funktion g=2x^2-8x+8 integrieren wir von x=k bis x=2.
∫gdx = ∫(2x^2-8x+8)dx = [2/3x^3-4x^2+8x] (von k bis 2) = 2/3(2)^3-4(2)^2+8(2)-[2/3k^3-4k^2+8k].
Der Flächeninhalt des beschriebenen Flächenstücks ist dann die Summe der beiden Integrale:
A = ∫fdx + ∫gdx = 4/3k^(3/2) + 2/3(2)^3-4(2)^2+8(2)-[2/3k^3-4k^2+8k].
Es ist anzumerken: Dass die zweite Integrationsgrenze k eine Näherung ist da der genaue Wert nicht einfach zu bestimmen ist.
Daher kann der Flächeninhalt nur näherungsweise berechnet werden.
Berechnung des Flächeninhalts eines beschriebenen Flächenstücks
Wie berechnet man den Inhalt des beschriebenen Flächenstücks?