Fragestellung: Wie berechnet man die Extremwerte, insbesondere Hoch- und Tiefpunkte, einer Funktion?

Der Weg zur Bestimmung der Extremwerte einer Funktion ist oft kurvenreich. In diesemgehen wir auf die Funktion \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \) ein. Wir setzen uns dabei intensiv mit der Berechnung von Hoch- und Tiefpunkten auseinander.

Zuerst beschäftigen wir uns mit den Ableitungen der Funktion. Diese sind notwendig für die Berechnung der Extrempunkte. Die erste Ableitung lautet \( f'(x) = 4x^3 - 10x \). Der nächste Schritt besteht darin diese Ableitung auf Null zu setzen. Durch das Nullsetzen identifizieren wir die kritischen Punkte. Diese Punkte sind entscheidend – denn hier kann sich das Verhalten der Funktion ändern.

Das Nullsetzen der ersten Ableitung führt zur Gleichung \( 4x^3 - 10x = 0 \). Wir faktorisieren:

\[
2x(2x^2 - 5) = 0
\]

Daraus ergeben sich zwei Fälle. Zum einen finden wir \( 2x = 0 \) was zu \( x_1 = 0 \) führt. Im anderen Fall setzen wir \( 2x^2 - 5 = 0 \). Daraus folgt \( x_2 = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \). Somit haben wir nun drei kritische Punkte: \( x = 0, \sqrt{\frac{5}{2}} \) und \( -\sqrt{\frac{5}{2}} \).

Der nächste Schritt in unserer Kurvendiskussion ist die Überprüfung der Natur dieser kritischen Punkte. Hierfür verwenden wir die zweite Ableitung \( f''(x) = 12x^2 - 10 \). Nun setzen wir unsere kritischen Punkte in die zweite Ableitung ein um lokale Extremwerte zu identifizieren. Bei \( x = 0 \) haben wir:

\[
f''(0) = 12(0)^2 - 10 = -10
\]

Ein negativer Wert deutet auf ein Maximum hin. Bei \( x = \sqrt{\frac{5}{2}} \) setzen wir ein:

\[
f''\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right) = 12\left(\frac{5}{2}\right) - 10 = 12․5 > 0
\]

Das ergibt ein Minimum. Das Gleiche gilt für \( x = -\sqrt{\frac{5}{2}} \).

Zusammenfassend können wir die folgenden Extremwerte ableiten:

- Hochpunkt bei \( x = 0 \) mit dem Funktionswert \( f(0) = 4 \),
- Tiefpunkte bei \( x = \sqrt{\frac{5}{2}} \) und \( x = -\sqrt{\frac{5}{2}} \) mit dem Funktionswert \( f\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right) = f\left(-\sqrt{\frac{5}{2}}\right) = -\frac{1}{2} \).

Zur Visualisierung: Ein Diagramm der Funktion zeigt, dass sich die Extrempunkte in der Tat gut darstellen lassen. Dies hilft – ein besseres Verständnis für das Verhalten der Funktion zu ausarbeiten.

InSumme ist die Kurvendiskussion ein mächtiges Werkzeug. Es erleichtert die Analyse und die Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten. Das Verständnis dieser Konzepte ist fundamental für weiterführende mathematische Anwendungen. Wägt man alles ab sollte jeder Mathematikstudent sich mit der Thematik der Extremwertberechnung auseinandersetzen.