In der Mathematik begegnen uns oft Aufgaben die auf den Grundlagen des Volumens basieren. Eine solche Herausforderung stellt die Aufgabe dar bei der eine Kugel in einen Zylinder taucht. Zuerst sollten wir die Maße des Zylinders berücksichtigen. Der Kolben hat einen Durchmesser von 10 cm. Daraus folgt, dass der Radius 5 cm beträgt - das ist die Hälfte des Durchmessers.
Die Wassersäule im Zylinder steigt um 1⸴3 cm an, anschließend die Kugel hinzufügte. Na was bedeutet das für das Volumen? Um das Volumen der Kugel zu finden müssen wir verstehen: Dass es genauso viel mit dem Volumen des verdrängten Wassers ist. Wären da nicht die mathematischen Formeln zur Hilfe. Also - das Volumen V eines Zylinders ist gegeben durch die Formel:
\[ V = r^2 \cdot \pi \cdot h \]
Hierbei steht r für den Radius des Zylinders, h für die Höhe des Wasserspiegels, also 1⸴3 cm. Jeder kann das nachrechnen. Setzen wir die Werte ein. Wir wissen, dass \( r = 5 \) cm und \( h = 1⸴3 \) cm.
Das würde dann so aussehen:
\[ V = (5 \, \{cm})^2 \cdot \pi \cdot 1⸴3 \, \{cm} \]
Das ergibt:
\[ V = 25 \cdot \pi \cdot 1⸴3 \]
Ein gutes Stück Mathematik ist erledigt. Nun - was ist das Ergebnis? Pi ist etwa 3⸴14. Somit wird es zu:
\[ V = 25 \cdot 3⸴14 \cdot 1⸴3 \]
Wir multiplizieren. Und schon landen wir bei einem Volumen von etwa 102⸴1 cm³ für die Kugel. Ein beeindruckendes Resultat, das auf einfacher Geometrie beruht!
Fazit
Zusammenfassend lässt sich sagen - die Kugel hat ein Volumen von ungefähr 102⸴1 cm³. Diese Aufgabe zeigt – ebenso wie wir mit den grundlegenden Formeln der Geometrie sowie Zylinder als ebenfalls Kugeln verstehen und miteinander in Beziehung setzen können. Ein guter Griff ins Volumen-Know-how und ein Beispiel wie Mathematik oft in der Realität praktisch angewendet werden kann. Wer hätte gedacht: Das einfache Eintauchen einer Kugel in Wasser solche interessanten mathematischen Ansätze hervorruft!