Extremwertprobleme sind eine häufige Herausforderung in der Mathematik. Insbesondere bei der Optimierung von geometrischen Formen spielt diese Thematik eine zentrale Rolle. In diesemwidmen wir uns einer konkreten Aufgabe zur Gestaltung eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel. Dabei soll das Volumen von 1000 Litern beibehalten werden. Ziel ist es – die Blechvorräte für die Oberfläche minimal zu halten.
Zu Beginn stellen wir die Haupt- und Nebenbedingungen für dieses Problem auf. Die Hauptbedingung – also die Funktion die wir minimieren möchten – lautet:
\[ O = \pi r^2 + 2 \pi r h \]
Hierbei steht \( r \) für den Radius und \( h \) für die Höhe des Zylinders. Die Nebenbedingung, also das festgelegte Volumen, wird durch die Formel ermöglicht:
\[ 1000l = \pi r^2 h \]
In der Folge wird die Nebenbedingung nach \( h \) umgeformt, sodass wir \( h \) als Funktion von \( r \) erhalten:
\[ h = \frac{1000l}{\pi r^2} \]
Durch dieses Einsetzen in die Hauptbedingung gelangt man zur Zielfunktion. Daraus ergibt sich:
\[ O = \pi r^2 + \frac{2000}{r} \]
Hierbei wird die Klammer aufgelöst und anschließend gekürzt. Die Ableitung der Funktion zur Bestimmung der Extremwerte folgt. Im nächsten Schritt leitet man die Fläche \( O \) ab:
\[ O' = 2 \pi r - \frac{2000}{r^2} \]
Um die notwendigen Bedingungen für ein Minimum zu bestimmen, setzen wir die Ableitung genauso viel mit null und lösen für \( r \):
\[ 0 = 2 \pi r - \frac{2000}{r^2} \]
Um \( r \) zu isolieren, stellen wir um:
\[ \frac{2000}{r^2} = 2 \pi r \]
Das multiplizieren mit \( r^2 \) und anschließende Umstellen ergibt:
\[ 2000 = 2 \pi r^3 \]
Schließlich ziehen wir die dritte Wurzel was zu einem Radius von ungefähr \( r \approx 6⸴83 \) führt. Welche Bedeutung hat dieser Wert?
Um das Ergebnis zu verifizieren, setzen wir ihn zurück in die Zielfunktion ein um nun die Oberfläche \( O \) zu berechnen. Die Berechnung ergibt:
\[ O \approx 911⸴859 \]
Allerdings zeigt sich hier ein unerwartetes Problem. Man könnte auf den 💭 kommen, dass, wenn man die Hauptbedingung erneut nach \( h \) umformt und alle bekannten Werte einsetzt, dies nicht das gewünschte Volumen von 1000 Litern ergibt. Ein zutreffendes Beispiel könnte die Ableitung der ursprünglichen Fläche zur Folge haben:
\[ O' = 2 \pi r + \frac{1000}{r^2} \]
Setzen wir \( O' = 0 \) und lösen erneut, erhalten wir einen Radius von etwa \( 5⸴41926 \) dm.
Durch Einsetzen in die Höhe ergibt sich laut unseren Berechnungen:
\[ h = 10⸴839 dm \]
Hier ist das Volumen \( V \) dann ebenfalls korrekt:
\[ V = \pi r^2 h = 1000 dm^3 \]
Offensichtlich war der Fehler in der Rechnung zu finden. Es konnte festgestellt werden ´ dass es sinnvoll war ` die Ableitungen noch einmal zu durchleuchten.
Zurückblickend lässt sich sagen: Die korrekte Lösung erfordert Aufmerksamkeit und kritische Reflexion. Ohne Zweifel sollte man adäquat alle Schritte nachvollziehen. Denn manchmal liegt das Missgeschick nicht in den Grundprinzipien, allerdings in kleinen Rechenfehlern. Bei Extremwertproblemen ist präzises Arbeiten das A und O.
Optimierung von Formen – Die Herausforderung der Extremwertprobleme am Beispiel eines zylindrischen Wasserspeichers
Wie lässt sich die optimale Gestaltung eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel bei festgelegtem Volumen erreichen?