Wie erkenne ich bei der Mitternachtsformel, ob x1 oder x2 negativ bzw. positiv ist?

Wie kann ich bestimmen, ob die Lösungen x1 und x2 bei der Mitternachtsformel negativ oder positiv sind?**

Um diese Frage zu klären müssen wir zunächst den Einsatz der sogenannten Mitternachtsformel verstehen. Sie wird eingesetzt – um die Nullstellen einer quadratischen Gleichung zu berechnen. Diese hat die allgemeine Form y = ax² + bx + c, obwohl dabei a, b und c als Konstanten fungieren. Die Mitternachtsformel lautet:

x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Ein zentraler Punkt ist der Radikand der mit dem Ausdruck (b² - 4ac) angegeben wird. Die Natur dieses Wertes entscheidet über die realen Lösungen x1 und x2. Und nun – lasst uns die verschiedenen Fälle analysieren.

1. Positiver Radikand (b² - 4ac > 0): In diesem Fall existieren zwei reelle Lösungen. Wir formulieren diese als:

x1 = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)

Eine entscheidende Frage ist hier das Vorzeichen. Das Vorzeichen vor der Wurzel beeinflusst die Lösungen stark. Ist das Vorzeichen vor der Wurzel negativ, wird x1 negativ und x2 positiv – und umgekehrt.

2. Null als Radikand (b² - 4ac = 0): Hier berührt die Parabel die x-Achse ebendies an einem Punkt. Die einzige Lösung ist:

x1 = x2 = (-b) / (2a)

Es fragt sich – ist diese Lösung positiv oder negativ? Das hängt auf jeden Fall von den Werten von a und b ab. Ganz klar: Es gibt keine unterschiedlichen Vorzeichen zu betrachten.

3. Negativer Radikand (b² - 4ac < 0): In diesem Szenario existieren erneut keine reellen Lösungen. Stattdessen sprechen wir von konjugiert komplexen Lösungen z1 und z2, formuliert als:

z1 = (-b/2a) + (i√|b² - 4ac| / 2a)
z2 = (-b/2a) - (i√|b² - 4ac| / 2a)

Hier ist das Vorzeichen vor der Wurzel irrelevant. Die Lösungen sind immer komplex.

Zusammenfassung: Das Vorzeichen der Lösungen x1 und x2 hängt direkt vom Radikanden ab. Ist dieser positiv – gibt es zwei reelle Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Ist der Radikand null ´ gibt es eine Lösung ` deren Vorzeichen von den spezifischen a und b abhängt. Ist der Radikand negativ – so sind die Lösungen immer konjugiert komplex.

Abschließend lässt sich festhalten, dass die Mitternachtsformel nicht nur mathematische Konzepte verbindet, allerdings ebenfalls einen tiefen Einblick in die Grundlagen der Algebra vermittelt. Wenn man die Natur des Radikanden verstanden hat ´ wird es viel leichter ` die Signifikanz der Lösungen zu erfassen.