Wie erkenne ich bei der Mitternachtsformel, ob x1 oder x2 negativ bzw. positiv ist?

Um zu bestimmen ob die Werte x1 und x2 negativ oder positiv sind müssen wir die Bedeutung des Radikanden in der Mitternachtsformel verstehen. Die Mitternachtsformel wird verwendet um die Nullstellen einer quadratischen Gleichung der Form y = ax² + bx + c zu berechnen obwohl dabei a b und c Konstanten sind.

Die Mitternachtsformel lautet:

x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

In dieser Formel gibt der Ausdruck unter der Wurzel (b² - 4ac) den Radikanden an. Je nachdem ob der Radikand positiv null oder negativ ist, ergeben sich unterschiedliche Fälle für die Werte von x1 und x2.

1) Wenn der Radikand (b² - 4ac) größer als null ist also positiv gibt es zwei reelle Lösungen für x1 und x2. In diesem Fall schreibt man die Lösungen als:

x1 = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)

Das Vorzeichen vor der Wurzel bestimmt ob x1 und x2 negativ oder positiv sind. Wenn das Vorzeichen vor der Wurzel negativ ist ´ ist x1 negativ und x2 positiv ` und vice versa.

2) Wenn der Radikand (b² - 4ac) genauso viel mit null ist, gibt es nur eine Lösung, die welche x-Achse berührt. In diesem Fall schreibt man die Lösung als:

x1 = x2 = (-b) / (2a)

Da es nur eine Lösung gibt » kann man nicht wirklich sagen « ob sie negativ oder positiv ist.

3) Wenn der Radikand (b² - 4ac) kleiner als null ist also negativ gibt es keine reellen Lösungen. Stattdessen gibt es zwei konjugiert komplexe Lösungen die man als z1 und z2 schreibt:

z1 = (-b/2a) + (i√|b²-4ac| / 2a)
z2 = (-b/2a) - (i√|b²-4ac| / 2a)

Das Vorzeichen vor der Wurzel wird hier nicht berücksichtigt. Die Lösungen sind immer konjugiert komplex.

Zusammenfassend können wir sagen: Dass das Vorzeichen der Lösungen x1 und x2 von dem Vorzeichen des Radikanden abhängt. Ist der Radikand positiv – haben wir zwei reelle Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Ist der Radikand null; haben wir nur eine Lösung. Und ist der Radikand negativ – haben wir zwei konjugiert komplexe Lösungen.