Zufallsexperimente bieten viele Möglichkeiten für spannende Herausforderungen, insbesondere wenn Würfe und Wahrscheinlichkeiten ins Spiel kommen. Die vorliegende Aufgabe besagt – dass wir zwei Urnen mit verschiedenen Farben von Kugeln haben. Aber wie berechnet man die Wahrscheinlichkeiten der Auswahl? Es ist nicht immer einfach. Die Zahlen und Aufteilungen sind entscheidend.
Zu Beginn sind es zwei Urnen. Dabei sind die ersten beiden Teilaufgaben bereits gelöst. Doch hier ist der schwierige Teil. Man zieht zweimal hintereinander eine blaue Kugel ohne Zurücklegen. Dabei gibt es bereits die Wahrscheinlichkeiten für jede Urne. In der ersten Urne befinden sich beispielsweise vier Kugeln, obwohl dabei eine blau ist – dies ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 1/4 für den ersten Zug. In der zweiten Urne gibt es fünf Kugeln, von denen eine blau ist – hier wäre die Wahrscheinlichkeit 1/5.
Bei dem Ziehen aus der ersten Urne wird die Gesamtzahl der Kugeln geringer was die Wahrscheinlichkeit beeinflusst. Nach dem ersten Zug bleibt nur noch eine blaue Kugel übrig und drei Kugeln insgesamt. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für den zweiten Zug nun 1/3 beträgt. Auch im nächsten Zug ist der Prozess identisch freilich muss die Interaktion mit der zweiten Urne hier nicht unterschlagen werden. Ein Baumdiagramm wäre durchaus nötig um die komplexen Verzweigungen der Möglichkeiten klarer darzustellen.
Der zweite Teil besteht darin die Fragestellung bezüglich der Auswahl der Urne zu bewerten. Die Wahrscheinlichkeit, dass man die erste Urne gewählt hat ist abhängig von den Wahrscheinlichkeiten, in der ersten Urne zwei blaue Kugeln zu ziehen. Man könnte dies als p1 bezeichnen. Das muss geteilt durch die Gesamtwahrscheinlichkeit p erfolgen. Diese könnte als p1/(p1+p2) geschrieben werden. Ein recht einfacher Ansatz ist das intuitive Gefühl: Die Wahrscheinlichkeit bei 50% liegt. Das verleitet zu einem Irrtum – denn die genaue Analyse mit den Zahlen zeigt weiterhin als eine simple Annahme.
Um noch ein wenig tiefer in die Materie einzudringen können wir hypergeometrische Verteilungen des Problems einsetzen. Hierbei ist M die Gesamtzahl der Kugeln ´ k die Anzahl der blauen ` N die Gesamtanzahl der Kugeln in einer bestimmten Urne und n die Anzahl der gezogenen Kugeln. Der mathematische Koninnerhalb dieser Aufgabenstellung wird immer deutlicher. Durch die vorhergehenden Berechnungen ergibt sich p1 aus einer Formeln mit M=2, k=2, N=7 und n=2 was zu einer Wahrscheinlichkeit von p1=1/21 führt.
Zusammengefasst – das Herzstück der Aufgabe ist die Analyse der Wahrscheinlichkeiten. Um die Frage zu beantworten – die Lösung ist mehrdimensional. Die Annahme, dass man einfache 50% hat, könnte irreführend sein. Wir bewegen uns in einem Raum – wo Mathematik auf Logik trifft und wo genaue Berechnungen den Unterschied machen. Es ist eine spannende Herausforderung. Manchmal ist es die Methode oder das richtige Diagramm das uns die Antwort bringt.
Über die Herausforderungen und Lösungen von Zufallsexperimenten: Eine Wahrscheinlichkeitsanalyse
Wie kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass man eine bestimmte Urne wählt, wenn man kontinuierlich aus dieser zieht?