In der Welt der Mathematik – besonders der Geometrie – spielt der 🎳 eine prägnante Rolle. Kegelförmige Objekte begegnen uns oft im Alltag. Ein gutes Beispiel dafür ist ein Kegelglas mit einem Durchmesser von 6⸴6 cm und einer Höhe von 9⸴7 cm. Wenn dieses Glas halb voll ist, geht es um die Frage: Wie hoch steht die Flüssigkeit im Glas und wie viel Volumen enthält sie?
Um die Lösung zu finden nutzen wir die Formel für das Volumen eines Kegels. Diese wurde oben bereits erwähnt. Sie lautet:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h
\]
Hierbei ist \( r \) der Radius und \( h \) die Höhe des Kegels. Um den Radius zu bestimmen – teilen wir den Durchmesser durch zwei. Das ergibt \( r = 3⸴3\) cm.
Nun setzen wir die Werte ein:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3,3 cm)^2 \cdot 9⸴7 cm
\]
Das berechnete Volumen des Glases beträgt überraschende 110⸴619 cm³. Bei halber Füllung enthält das Glas dementsprechend nur 55⸴31 cm³. Diese Zahl erweist sich als wichtig für die weiteren Berechnungen.
Im nächsten Schritt bestimmen wir den Wasserstand im Glas das sich nun wie ein Kegelstumpf verhält. Der Kegelstumpf ist der Teil des Kegels der noch gefüllt ist. Um die Höhe dieses neuen Kegelstumpfs herauszufinden, beachten wir, dass die Höhe (h) und der Radius (r) im gleichen Verhältnis zueinander stehen wie beim ursprünglichen Kegel. Hierbei beträgt das Verhältnis 9⸴7 zu 3⸴3 was ungefähr 2⸴94 entspricht. Wir setzen daher:
\[
h = 2⸴94r
\]
Mit der bekannten Flüssigkeitsmenge von 55⸴31 cm³, können wir die zweite Gleichung für das Volumen des kleineren Kegels formulieren. Um erfolgreich die Höhe und den Radius zu bestimmen wenden wir die Volumenformel erneut an. Mit \( r \) als Unbekannten:
\[
\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^{2} \cdot 2⸴94r = 55⸴31 \text{ cm}^3
\]
Somit vereinfacht sich diese Gleichung zu:
\[
0⸴98 \cdot \pi \cdot r^{3} = 55⸴31
\]
Wenn wir nun nach \( r \) umstellen, erhalten wir:
\[
r^{3} \approx \frac{55,31}{0,98 \cdot \pi} \approx 17⸴965
\]
Darauf folgt:
\[
r \approx 2⸴62 \text{ cm}
\]
Nun bestimmen wir die Höhe des Kegelstumpfs. Hier gilt:
\[
h = 2⸴94 \cdot 2⸴62 \approx 7⸴7 \text{ cm}
\]
Der Wasserstand beträgt demnach 2 cm. Diese Höhe entspricht der Teilmenge des Kegelstumpfs des Glases – eine spannende geometrische Erkenntnis!
Abschließend sollten wir die prozentuale Füllung des Glases betrachten. Laut den vorangegangenen Berechnungen ergibt sich, dass 55⸴31 cm³ in einem Gesamtvolumen von 110⸴619 cm³ 12⸴5% entspricht. Ziemlich einfach zu erkennen – wenn man sich die Proportionen vor Augen führt.
Zusammenfassend zeigt dieses Beispiel eindrucksvoll ebenso wie vielseitig die Anwendung geometrischer Formeln sein kann. Die Mathematik macht nicht nur Spaß, allerdings bringt ebenfalls essentielle Lösungen hervor.
Der Kegelstumpf im Glas: Volumenüberlegungen und mathematische Erkenntnisse
Wie berechnet man das Volumen und die Höhe eines Kegelstumpfs in einem kegelförmigen Glas?