Berechnung der Anzahl der Tage für eine hohe Wahrscheinlichkeit von Sonnenschein auf Robinsons Insel

Im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es spannende Herausforderungen. Die Anfrage bezieht sich auf eine interessante Situation auf Robinsons Insel. Auf dieser Insel gibt es zwei Wetterbedingungen: Schönes Wetter und schlechtes Wetter. Die Wahrscheinlichkeit, dass es schön ist, beträgt 80%. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit von schlechtem Wetter bei 20%. Nun stellen sich die Studierenden eine gewaltige Frage insbesondere Donald der herausfinden möchte ebenso wie oft er die Insel besuchen muss.

Zunächst müssen wir die grundlegenden Wahrscheinlichkeitswerte anschauen. Das Wetter an einem Tag ist unabhängig von den anderen Tagen. Darum kann die Wahrscheinlichkeit für Regen an einem Tag als 0⸴2 (oder 20%) angesehen werden. Dies bedeutet, dass für k Tage in Folge Regen fällt die Wahrscheinlichkeit, dass es an jedem dieser Tage regnet, sich berechnet als \( (0.2)^k \).

Um die Mindestanzahl der Tage zu bestimmen verwendet man eine Art inverser Methode. Die Wahrscheinlichkeit, dass nicht an k aufeinanderfolgenden Tagen Regen fällt, kann als \( 1 - (0.2)^k \) beschrieben werden. Donald möchte dies so gestalten, dass diese Wahrscheinlichkeit mindestens 99⸴99% beträgt. Mathematisch formuliert sieht dies wie folgt aus:

\[
(0.2)^k < 0․0001
\]

Diese Ungleichung drückt aus, dass die Wahrscheinlichkeit: Es an k Tagen hintereinander regnet, kleiner sein muss als 0⸴01%. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens an einem dieser Tage sonnig ist, 99⸴99% erreichen sollte.

Um diese Ungleichung zu lösen » setzen wir an « dass wir logarithmische Funktionen verwenden müssen. Wir nehmen den Logarithmus beider Seiten der Ungleichung:

\[
k \cdot \log(0.2) < \log(0.0001)
\]

Da der Logarithmus einer Zahl kleiner als 1 negativ ist, kehren wir die Ungleichung um:

\[
k > \frac{\log(0.0001)}{\log(0.2)}
\]

Nun müssen wir die Werte für die Logarithmen berechnen. Der Logarithmus von 0⸴0001 im Basis 10 ist -4 und der Logarithmus von 0․2 ist ungefähr -0.6990. Somit könnte unsere Gleichung umformuliert werden:

\[
k > \frac{-4}{-0.6990} \approx 5․73
\]

Das bedeutet, Donald muss die Insel also mindestens 6 Tage besuchen um die Wahrscheinlichkeit auf mindestens einen schönen Tag zu erhöhen – das heißt auf 99⸴99%.

Zusammengefasst ist die Lösung klar: Wenn Donald die Insel für mindestens 6 Tage besucht hat er eine wirklich hohe Wahrscheinlichkeit: Dass er mindestens an einem Tag schönes Wetter erleben kann. Mathematik in der Praxis ist faszinierend!